2002车灯线光源的优化设计.docVIP

问题重述： 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 请解决下列问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。 模型假设： 抛物面表面绝对光滑且反射系数为1 灯丝发光强度处处相同 当光源尺寸远小于它到受照面的距离时可视为点光源 光线在大气中传播时不考虑尘埃等对光线的散射或其它影响 将灯丝离散的分成许多小段，每一段的能量集中在该段的中心位置，视为点光源 灯丝发光强度与功率成正比，比例系数为K 符号系统： L：灯丝长度； P：抛物线的焦距； (：光通量； I：发光强度； (：空间角； 模型的建立： 首先我们建立如下的坐标系，其中xoy平面为过旋转轴的水平面，z轴垂直xoy竖直向上 我们的模型建立在光通转移法原理之上。光通转移法的原理（如图1所示）是基于照射到一块反射面上的光通量乘以反射系数后，将完全照射到所对应的配光屏上。详述为： 照射到配光屏上的光通量为： 其中 ——入射线与面元法线的夹角 ——入射线与光轴的夹角的变化量 ——旋转角度的变化量 照射到配光屏上产生的照度 其中 ——反射器的反射系数 ——配光屏上对应的面积 下面我们分单灯丝和双灯丝两种情况来建立模型 1．单灯丝模型 当入射线与光轴的夹角与旋转体角度发生微小变化（，）时，配光屏上相应的面积S求法如下所述： 角和角发生微小变化，形成图2所示的微锥体，设微锥体的棱长为R，则底面矩形的长和宽分别为，面积为。微锥体在抛物面上的截面的曲率处处近似相等，可以看作一光滑的平面。那么反射光线可以看作是从点光源关于该截面的像点发出的，像点到配光屏的距离是一常数，设为d，则微锥体在配光屏处的底面面积为，照射到配光屏上的面积，其中为反射光线与配光屏法线的夹角。在配光屏处的面积为。如图3所示，DEF的底角可以看作是直角，则投射到配光屏上的面积 照射到配光屏上产生的照度为 ，与和有关。由上面的公式可以计算出每个点光源经反射后在B，C两点的光照度，B点和C点的经抛物面反射的总照度为： 对于光线直射到配光屏上的情况，反射系数就是1，即=1。直接照射到配光屏上产生的照度为 计算出每个点光源在B，C两点的直接光照，B点和C点的总直射光照度为： 经过以上的准备工作 ，建立单目标规划模型如下： 线光源的功率 对于配光屏上其它点的光照度也可以用累加和的形式得到。 2．双灯丝模型 为了减少功耗，可以将灯丝分段设计（仍保证总的灯丝关于焦点对称放置）。现考虑有两段灯丝的情况，基于上面的讨论，两段灯丝对称的放置在焦点的两侧，两段灯丝之间的距离为。这就相当于在单灯丝模型的基础上，将灯丝中间长度为的灯丝去掉。于是，所建立的模型与单灯丝模型相同，只是在求解的时候不考虑中间长度为的灯丝发出的光线。 模型求解： 问题一： 在灯丝所在的水平面上，抛物线的方程为，焦点处的坐标为（15，0）。旋转抛物面的方程为（）。令，则 ， ， 过抛物面任意一点的法矢量为。 反射光光照度的计算： 对于每个点光源，的变换范围都是，的变化范围因点光源的位置不同而有所变化，计算方法如图4所示： 设M点的坐标为，则P，Q，N三点的坐标分别为，，，那么的变化范围是。对于给定的，，过点光源的空间直线的参数方程为： (t0) 与抛物面交于点，其中满足下面的条件 过N点的法矢量为，设分别是入射光线、法线、出射光线的矢量，如图5所示 入射线与面元法线的夹角（）的余弦值为 = 由反射定律知，若AD与BC垂直，则。 设， 由 ， 得到 ， 配光屏为一垂直于X轴的平面，