2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一三真题及答案可编辑word版.docVIP

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:18小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( C ) (A) (B) (C) (D) 答案( C ) 解析： 由于，可知线性相关。 (6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），则 ( B ) (A) (B) (C) (D) 答案( B ) 解析：，则， 所以 (7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则( ) (A) (B) (C) (D) 答案( A ) 解析：的联合密度函数为，则 (8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( ) (A) (B) (C) (D) 答案( D) 解析：设两段长度分别为，显然，两者是线性关系，且是负相关。所以相关系数为. 二、填空题914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(13)设为三维单位向量，E为三阶单位矩本，则矩阵的秩为 答案：2 解析：矩阵的特征值为，所以的特征值为，又由于为实对称矩阵，是可以相似对角化的，故它的秩等于它的非零特征值的个数。 (14)设，，是随机事件，A与C互不相容， 答案： 解析：由条件概率的定义知，其中， 故。 三、解答题15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本题满分分) （1）计算行列式 (2)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。 解析：（1）把按第四行展开得： (2) 由 可知要使方程组有无数个解，则有，所以。此时原方程组的增广矩阵可化为：，进一步化为行最简形式，由此可知导出（齐次）组的基础解系为，非齐次方程组的特解为，故其通解为。 (21)(本题满分分) ，二次型的秩为2 （1）求实数的值； （2）求正交变换将化为标准型. 解析：（1）由可知，，所以； （2）此时， 则二次型的矩阵为，，得的特征值为：对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，将，，单位化可得：，，，。 （22）、的概率分布为 Y X 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求. 解析：由二维离散型随机变量、的概率分布可知： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P XY 0 1 2 4 P 0 （1） （2） (23)(本题满分分) 与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设 (1)求的概率密度 （2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量 （3）证明为的无偏估计量 解析：（1）因为，且与相互独立，故，所以的概率密度 （2）似然函数为： （3） 所以，为的无偏估计量。 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(5)设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( ) (A) (B) (C) (D) 答案( C ) 解析： 由于，可知线性相关。 (6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且,若 则=( ) (A) (B) (C) (D) 答案( B ) 解析：，则， 所以 (7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1） ( ) (A) (B) (C) (D) 答案：( D) 解析：的联合密度函数为，则（由二重积分的几何含义知，此积分即为单位圆在第一象限的面积）。 (8)设为来自总体（0）的简单随机样本，则位计量的分布为 ( ) (A) N（0,1）(B) t(1)(C) (D) 答案：( B) 解析：从形式上看，该统计量一定是t分布。 具体证明： 二、填空题914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(13)设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得矩阵,则 答案：-27 解析：. (14)设、、是随机事件，与互不相容，,,则 答案： 解析：由条件概率的定义知，其中， 故。 三、解答题15～23小题,共