广东省廉江市实验学校人教版高中数学必修一：1.3.1.2课件.ppt

【解题探究】典例中f(x)在(1)(2)(3)不同的区间上的单调性是怎样的? 提示:当x∈R时,f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增;当x∈[0,3]时,f(x)在[0,2)上单调递减,在[2,3]上单调递增;当x∈[-1,1]时,f(x)在[-1,1]上单调递减. 【解析】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7, 当x=2时,等号成立. 即函数f(x)的最小值为-7,无最大值. (2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象 如图所示,由图可知,函数f(x) 在[0,2)上递减,在[2,3]上递增, 并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4, 所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-7. (3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)max=f(-1)=20,f(x)min=f(1)=-4. 【延伸探究】1.若本例函数的解析式不变,求此函数在[0,a]上的最大值和最小值. 【解析】由题意知a0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7, 故此函数的对称轴x=2,当0a2时,f(x)min=f(a)= 3a2-12a+5,f(x)max=f(0)=5,当2≤a4时, f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5,当a≥4时, f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(a)=3a2-12a+5. 2.若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)= x2-2ax+2”,则函数在[-1,1]上的最小值如何? 【解析】函数f(x)图象的对称轴方程为x=a,且函数图象开口向上,如图所示: ①当a1时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 故f(x)min=f(1)=3-2a; ②当-1≤a≤1时,f(x)在[-1,1]上先减后增, 故f(x)min=f(a)=2-a2; ③当a-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增, 故f(x)min=f(-1)=3+2a. 综上可知f(x)的最小值为 f(x)min= 【方法技巧】求解二次函数最值问题的顺序 (1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图. (2)在图象上标出定义域的位置. (3)观察单调性写出最值. 特别提醒:求二次函数的最值时,要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,并关注最大(小)值不一定在顶点处取得. 【补偿训练】1.已知函数f(x)=-x2+4x+a(x∈[0,1]),若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(　　)A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.因为f(x)=-x2+4x+a的图象开口向下,对称轴为x=2,所以f(x)在[0,1]上单调递增,最小值为f(0)=a=-2,最大值为f(1)=-1+4+a=1. 2.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1),若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值. 【解析】因为f(x)的图象开口向上,对称轴x=a1, 所以f(x)在[1,a]上是减函数,所以f(x)的最大值为 f(1)=6-2a,f(x)的最小值为f(a)=5-a2,所以 所以a=2. 类型三　利用单调性求最值 【典例】1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实 数a,b,总有 0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是________. 2.已知函数f(x)= ,x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明. (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 【解题探究】1.典例1中条件 0的实质是 什么? 提示: 0的实质等价于函数f(x)为增函数. 2.典例2中f(x)的定义域是什么?求f(x)的最值可借助函数的什么性质? 提示:函数f(x)的定义域为[3,5],求函数最值可借助函数的单调性. 【解析】1.由题意可知函数f(x)在R上为增函数,则函数f(x)在[-3,-1]上最大值应为f(-1)=b. 答案:b 2.(1)f(x)是增函数.证明如下: 任取x1,x2∈[3,5]且x1x2, f(x1)-f(x2)= 因为3≤x1x2≤5, 所以x1-x20,(x1+2)(x2+2)0, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以f(x)在[3,5]上为增函数. (2)由(1)知,f(x)在[3,5]上为增函数,则 f(x)max=f(5)= ,f(x)min=f(3)= . 【方法技巧】 1.利用函数单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数f(x)的单调性. (2)借助最值与单调性的关系写出函数最值