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《数字信号处理》课程读书笔记 ——利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器 切比雪夫逼近法是一种等纹波逼近法，它使误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。 切比雪夫最佳一致逼近准则 设理想的滤波器幅度特性为Hd(ω)，实际设计的滤波器的幅度特性为H g(ω)，其加权误差E（ω）用下式表示： E（ω）=W（ω）[Hd(ω)- H g(ω)], ① 其中W（ω）为误差加权函数，它是在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。 设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)必须满足一定条件,假设设计的是h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况。则有： H(ejω)=e-j(N-1)ω/2Hg(ω)，其中Hg(ω)= 令M=（N-1）/2代入①得： E（ω）=W（ω）[Hd(ω)- ], ② 最佳一致逼近问题是选择M+1个系数,使加权误差E（ω）的最大值为最小，即： min[] ,式中A表示所研究的频带，这里指通带或阻带。由②式知，这是一个由M次多项式，根据上面提出的准则逼近一连续函数的问题。 切比雪夫理论指出这个多项式存在且唯一，并指出构造该多项式的方法是“交错点组定理”。该定理指出最佳一致逼近的充要条件是：E（ω）在A上至少呈现M+2个“交错”使得：E（ωi）=- E（ωi+1）,,其中ω0ω1ω2…ωM+1, ω∈A。按照该准则设计的滤波器通带或阻带具有等纹波性质。 利用最佳逼近准则设计线性相位FIR滤波器 设需要设计的是线性相位的低通滤波器，如果知道了A上的M+2个交错点频率：ω0，ω1，…ωM+1,按照 ②式，并根据交错点组准则，可写出： W（ωk）[Hd(ωk)- ]= (-1)kρ ρ= ,k = 0,1,2, …M+1 ③ 把③写成矩阵形式进行求解，可以唯一地求出，n=0,1,2, …M,以及加权误差的最大绝对值ρ。由可以求出滤波器的h(n)。实际上这些交错点组的频率ω0，ω1，…ωM,是不知道的，且求解③式是比较困难的。 用数值分析中的Remeg算法求解③式 1．说明：在Remeg算法中，以知条件是N，ωp ，ωs ,而ζ1 ，ζ2 ，是可变的，在迭代过程中可最佳确定。另外，指定ωp和ωs作为极值频率，最多将会出现M+3个极值频率，因而采用交错点组准则，只需要M+2个，只需要去掉ω=0，п中呈现较小误差的频率点，仍选M+2个交错点组频率。 2．Remeg算法步骤： （1）在频域等间隔取M+2个频率ω0，ω1，…ωM+1,作为交错点组的初始值。按下式计算ρ值：ρ= 式中 ④ 一般初始值ωi并不是最佳的极值频率，ρ也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日插值公式，求出H g(ω)，即： H g(ω)= ，式中 ：Ck=Hd(ωk)- (-1)k ,k= 0,1,2, …M 。 ⑤ 把H g(ω)代入②，求出误差函数E（ω）。如果对所有的频率都有，说明ρ是纹波的极值，频率ω0，ω1，…ωM+1是交错点组的频率。一般第一次估计的位置不会恰好是交错点组，在某些频率可能，说明需要交换初始交错点组中的某些点，形成一组新的交错点组。 （2）对上次确定的ω0，ω1，…ωM+1中的每一点，都检查其附近是否存在某一频率，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。M+2个点都检查过，便得到新的交错点组ω0，ω1，…ωM+1，再次利用④⑤式求出ρ，H g(ω)和E（ω），于是完成了一次迭代，也完成一次交错点组的交换。 （3）利用和第二步相同的方法，把各频率处使的点作为新的局部极值点，从而有得到一组新的交错点组。 重复以上步骤，ρ最后收敛到自己的上限，此时H g(ω)最佳一致逼近Hd(ω)。如果在迭代，误差曲线E（ω）的峰值将不会大于，此时迭代结束。由最后一组交错点组，按算出H g(ω)，在有H g(ω)算出和h(n). 参考书目： 1．《数字信号处理》（第二版）丁玉美，高西全著 2．《离散时间信号处理》AV.奥本海姆 RW.谢弗 著 3．《数字信号处理》宗孔德 胡广书著