线性变换-河海大学.PDFVIP

7.4 线性变换 《线 性 代 数》 定义 设 V 是一个线性空间，若有对应关 系T，使 n 得对 V 中每一个向量a ，都有确定的向量a¢与之对 n 应，称T为V 上的一个变换。 n T(a)为a在 变换T下的象； a称为T(a)的原象. 定义 若T为V 上的一个变换，且满足 n （1）可加性 ：  a, b Œ V ， n  T ( a + b) = T ( a) + T ( b)；   （2）齐次性 ： a Œ V ， k Œ R ， n  T ( k a ) = kT ( a)；   则称T为V 上的一个线性变换。 n 可加性与齐次性可合并为： T( k a + k b) = k T ( a) + k T ( b).  1  2  1  2  河 海 大 学 继 续 教 育 学 院 远 程 教 育 课 程 《线 性 代 数》 例 在 线性 空间V 中定义变换 n T ( a ) = la ， a Œ V  n  其 中l 为给定的数 ，证明T是线性变换。 证  a, b Œ V ， 有 n  k , k  Œ R ， 1  2  T ( k a + k b) = l ( k a + k b)  1  2  1  2  = lk a + lk b = k la + k lb 1  2  1  2  = k T ( a) + k T ( b)  1  2  所以T为V 上的线性变换。 n 河 海 大 学 继 续 教 育 学 院 远 程 教 育 课 程 《线 性 代 数》 1  用C  [a,b]表示闭区间[a,b]上一阶可导的函数全体。 1  d 例 C  [a,b]上的微 分变换 是线性 变换。 dx  证 1  f  ( x ), g ( x ) Œ C  [ a , b ]，   k , k  Œ R ， 1  2  由微 分运算的性质有 d  df ( x )  dg ( x )  [ k f ( x ) + k g ( x )] = k  + k  1  2  1  2  dx