精品解析：苏教版高中数学 高三二轮 专题11 导数及函数的单调性 极值 最值 测试（解析版）.docVIP

第2讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题 一、填空题 1. 已知函数f(x)＝4ln x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f (x)的一个极值点，则a的值为________. 解析　由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， 【答案】1 【解析】由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x)＝＋2ax－6，∴f ′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1，经验证符合题意.填1。 2. 函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________. 【答案】 【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]． 3. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________. 【答案】 【解析】由题意知f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝0，f (1)＝10， 即解得或 经检验满足题意，故.填。 【点睛】用f ′(1)＝0是用必要条件做题，所以需要检验。即在区间D上的可导函数f(x),是函数f(x)在取极值的必要条件。 4. 若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________. 【答案】 【解析】由f (x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得f ′(x)＝ex(－x2＋a＋2)≥0，x∈[a，a＋1]恒成立，即(－x2＋a＋2)min≥0，x∈[a，a＋1]. 当a≤时，－a2＋a＋2≥0，则－1≤a≤； 当a时，－(a＋1)2＋a＋2≥0，则a≤， 所以实数a的取值范围是－1≤a≤，a的最大值是.填。 【点睛】 当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减。 当f(x)在区间D上单调递增时，导函数在区间D上，且要检验不恒恒成立。当f(x)在区间D上单调递减时，导函数在区间D上，且要检验不恒成立。 5. 函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是________(填序号). 【答案】④ 【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x)＞0的解集对应y＝f (x)的增区间，f ′(x)＜0的解集对应y＝f (x)的减区间，验证只有④符合. 6. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】　f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a). 当a≤0时，f ′(x)＞0， ∴f (x)在(0，1)内单调递增，无最小值. 当a＞0时，f ′(x)＝3(x－)(x＋). 当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f (x)单调递增； 当x∈(－，)时，f (x)单调递减， 所以当＜1，即0＜a＜1时，f (x)在(0，1)内有最小值.填。 学%科%网...学%科%网...学%科%网... 【答案】 【解析】，因为函数有两个极值点，所以方程 8. 设函数 (1)若a＝0，则f (x)的最大值为________； (2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】（1）时，＝0，，且时，，时，，又时，，∴在上递增，在上递减，∴； （2）由（1）知无最大值，则有，解得． 二、解答题 9. 已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】(1)因为f(x)＝excos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为 f(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1， 则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当x∈时，h′(x)＜0， 所以h(x)在区间上单调递减． 所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0， 即f′(x)＜0. 所以函数f(x)在区间上单调递减． 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－. 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义以及函数的单调性，对于函数的最值问题，一般都是先研究函数的单调性，有单调性求得函数的最值.函数的单调性可以通过求导确定，也可以通过常见函数来确定. 10. (1)讨论函数的单调性，并证明当x0时，(x－2)ex＋x＋20； (2)证明：当a∈[0，1)时，函数(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域. 【答案】（1）见解析；