高考数学参数方程和普通方程的互化练习.docVIP

【参数方程和普通方程的互化】 例1 求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． ??? 解：把代入 ??? 得：两式平方相加可得 ??? ∴ （舍去） ??? 于是即所求二曲线的交点是（，－）． ??? 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 ??? 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数． 过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 ??? 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ??? ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 ??? 一般地，直线的参数方程的一般形式是 ??? ?（，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3 求椭圆的参数方程． ??? 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设 解法一：设（为参数），则 ∴ ??? 故 ??? 因此，所得参数方程是 ?? （Ⅰ）或? （Ⅱ） ??? 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． ??? 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知也是半径OB的转角）． ?? ?例4 ?用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则： 又中， ∴ ∴此圆的参数方程为 例5? 设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。 解：把代入原方程，得， 解得? ∴参数方程为? （为参数） ∵与表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。 ∴所求参数方程 例6? 化双曲线为参数方程。 解：设，代入为，得 ∴的参数方程为（为参数，） 这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？请你找出来。 错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。 下面给出正确解法：设，代入得。 ∴的参数方程为：（为参数，） 例7 化参数方程 （为参数）为普通方程。 分析一：用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。 解法一：∵ ∴? 即 将它代入（1），并化简得 （） 分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。 解法二：得 又∵?? ∴ 于是得所求普通方程为 即 分析三：因为，所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。 解法三：∵， ∴ 可令（，） 又∵ 于是得 得? 即 ∵，（） ∴（） 即，∴ ∴普通方程是（） 说明：解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。 例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。 （1）??? （2）?? （3） 解：（1）∵ ∴ （）为所求。 （2）由，得（） 将它代入，并化简得（） 另解：∵ 并整理得 （） （3）∵ 且 ∴所求普通方程为 说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。 例9? 对于方程（a，b为常数） （1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线； （2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线 解：（1）当t为常数，原