竞赛讲座(整式的恒等变形).docVIP

竞赛讲座(整式的恒等变形) 知识要点 整式的恒等变形 把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形 整式的四则运算 整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。 乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a2-b2 ② (a±b)2=a2±2ab+b2 ③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3 ④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3 ⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc ⑦ (a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3 整式的整除 如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。 余数定理 多项式除以 (x-a) 所得的余数等于。 特别地:=0时，多项式能被(x-a) 整除 例题精讲 例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0” 解 因1+2+3+…+1998=是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。 先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。 很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1, 故所求最小的非负数是1。 例2 计算 (2x3-x+6)?(3x2+5x-2) 分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。 解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。 解法2 2+0-1+6 () 3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30 -4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数. 解 x8的系数=2(2+(-3) ( (-1)+(-7) (3= -14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开。 例4计算 (3x4-5x3+x2+2)((x2+3) 分析 整式除法可用竖式进行 解 3 x2 – 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x - 5x3 -15x -8 x2+15x+ 2 -8 x2 - 24 15x+ 26 所以，商式为3 x2 – 5x – 8，余式为15x+ 26 评注：用竖式进行整式除法要注意： 被除式和除式要按同一字母的降幂排列； 如被除式和除式中有缺项，要留有空位； 余式的次数要低于除式的次数； 被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式(商式+余式 例5计算 (2x5-15x3+10x2-9) ((x+3) 分析 对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。 解 -3 2 0 -15 10 0 -9