大学高数 第一章数列与极限 极限与连续.pptVIP

在同一极限过程中, 有限个无穷小的代数和 定理2 仍是无穷小. 3. 无穷小的运算性质 无穷小与无穷大 在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小. 推论1 的乘积是无穷小; 推论2 推论3 无穷小与无穷大 而两个无穷小的商不一定是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. （二）、无穷大 在自变量变化过程中绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 如, 是无穷大; 是无穷大. 无穷小与无穷大 定义2 记作 特殊情形: 正无穷大,负无穷大． 定义 无穷小与无穷大 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大一定是无界函数, 注 (3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 未必是某个过程的无穷大. 但是无界函数 无穷小与无穷大 如 是无界函数, 但不是无穷大. 因为取 而取 无穷小与无穷大 当 所以 f (x)不是无穷大! 证 例 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote). 无穷小与无穷大 结论 在同一极限过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大 （三）、无穷小与无穷大的关系 关于无穷大的讨论, 意义 无穷小的讨论. 都可归结为关于 * * 函数与极限 思考题 作业 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 第二节 函数的极限 对于数列,即整标函数 其自变量的变化只有一种情形. 而对于一般函数 来说,有: 第一章 极限与连续 无穷小与无穷大 一自变量趋向无穷大时函数的极限(P26) 设对充分大的x, 函数 处处有定义. 如果随着x的无限增大, 相应的函数 就 无限接近某一常数 A. 由此可引入函数在 无穷远处的极限概念. 以下分别用记号 表示 无限增大的过程. x 趋向于负无穷 x 趋向于无穷 函数的极限 x趋向于正无穷 用数学语言刻划 表示 表示 无限增大. 1. 定义 定义1 记作 或 无限接近、 函数的极限 函数的极限 图形 完全落在: 3. 另两种情形 函数的极限 解 显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故 不存在. 例 讨论极限 是否存在? 函数的极限 如果在x的某种趋向下, 并不无限接近 一个常数, 则称: 在x的该种趋向下 例 当|x|无限增大时, 都不无限接近一个常数, 因此 都不存在. 函数的极限 不存在. 例 证 要使 成立. 只要 有 解不等式 函数的极限 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote). 函数的极限 渐近线 则直线 用数学语言刻划 无限接近 于确定值A. 函数的极限 二自变量趋向有限值时函数的极限(P29) 1.定义 定义2 设函数 有定义. 记作 或 函数的极限 恒有 在点x0某去心邻域内 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 函数的极限 作出带形区域 注 (1) 定义中的 所以 f (x)有没有极限与f (x)在点x0 是否有定义并无关系. (2) 定义中 标志x接近x0的程度, 也将越小. (3) 不要求最大的 表示 它与 一般地说, 越小, 只要找到 即可. 有关. 函数的极限 可以采用适当放大法. 例 证 例 证 任 函数的极限 例 证 函数在点 函数的极限 处没有定义. 要使 例 证 min 函数的极限 可用 保证 证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式, 函数的极限 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 函数的极限 两种情况分别讨论! 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 或 或 函数的极限 注 且 此性质常用于判断分段函数当x趋近于 函数的极限 分段点 时的极限. 试证函数 证 左、右极限不相等, 故 例 函数的极限 左、右极限存在, 证 故极限不存在. 例 函数的极限 但不相等, 讨论 的存在性. 设函数 答案 总结一下 x的趋向一共有六种: 函数的极限 思考题 ( A) 先给定 后唯一确定 ; 极限定义中 与 的关系是( ). ( C) 先确定 后给定 ; (D) 与 无关. B (1) ( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一; 函数的极限 (2) 如果 与 存在,则( ). (B)