高中数列知识点及其经典真题演练总结.docVIP

高中数列知识点及其经典真题演练总结 1. 等差数列的定义与性质 定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列 （1）若，则 （2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为； （3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则 （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数） 的最值；或者求出中的正、负分界项，即：，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有 ，. （7）项数为奇数的等差数列，有，，. 2. 等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和：（要注意！） 性质：是等比数列 （1）若，则 （2）仍为等比数列,公比为. 注意：由求时应注意什么？ 时，； 时，. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 ，，求 解 ，∴ ① 时， ② ①—②得：，∴，∴ ［练习］满足，求 注意到，代入得；又，∴是等比数列， 时， （2）叠乘法中，，求 解 又，∴. （3）等差型递推公式 ，求，用迭加法 时，两边相加得 ∴ ［练习］中，，求（） （4）等比型递推公式 为常数，） 可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ （5）倒数法，求 由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴ ( 附： 公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 是公差为的等差数列，求 解： ∴ ［练习］ （2）错位相减法为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： ① ② ①—② 时，，时， （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. ［练习］，则 由 ∴原式 (附： a.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 .用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 .用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 .用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 .用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 .用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 .用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件中，，公比。 （Ⅰ）数列的前项和，求； （Ⅱ）设，求数列的通项公式。 ★★6.设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项.（I）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（II）证明. ★★★7、已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且， . （Ⅰ）求数列与的通项公式； （Ⅱ）记，，证明（）. 在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当时，. (I)求数列{an}的通项公式an；