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超弹性材料和结构的不稳定性问题 任九生(， 程昌钧 上海大学力学系，上海市应用数学和力学研究所，上海200444 摘要 超弹性材料是一类性能独特、不可替代且有广泛工程应用的材料，对其独特的材料不稳定性问题的研究极大地推动了连续介质力学有限变形理论和超弹性理论的发展。本文综述了超弹性材料和结构的不稳定性问题的研究成果和必威体育精装版进展，包括Rivlin立方块问题、薄壁球壳和薄壁圆筒的内压膨胀问题、圆柱的扭转问题、块体的表面不稳定性问题、空穴的生成、增长和闭合问题等。阐述了这类材料中各类非线性不稳定性问题的特点、问题的求解、主要结果及今后进一步的研究方向等。 关键词 超弹性材料，材料和结构不稳定性，非线性，分叉 1引言 超弹性材料指存在一个应变能函数，应力可从应变能函数求偏导得到的材料，主要包括橡胶，合成弹性体，部分高分子聚合物和血管、肌肉、皮肤等生物软组织为代表的部分生物材料[1~3] 。以橡胶材料为例，它们具有大变形和高弹性的独特特点和优点，作为密封、振动吸收或承受负荷的橡胶配件几乎在国民经济各领域都有应用，特别是近年来在航空航天等高科技领域中的应用。“挑战者”号航天飞机因“O”型橡胶密封圈的缘故造成的失事使人们认识到材料力学及超弹性材料和结构不稳定性的重要性，因此这类材料受到人们的极大关注；“哥伦比亚”号航天飞机的失事再一次昭示了材料问题的重要性。超弹性材料的应力应变关系完全由它们的应变能函数给出，且其几何特性大都是非线性大变形的，问题的数学模型一般是非线性微分方程的初边值问题，求解比较困难，大变形问题的求解和材料应变能函数的确定一起构成超弹性材料的两个核心问题。 图1橡胶弹性的八条链微观模型[4] 橡胶材料的微观结构是由长长的分子链通过化学键交结在一起（热固性橡胶）或通过部分聚集的分子进入微区来连接（热塑性橡胶），在空间形成三维分子网络结构，代表性的模型有线性高斯链模型、三条链模型、四条链模型和八条链模型（图1）。这些分子在常温下具有不同的自由结构，像一蓝子蛇，在外力拉伸作用下，卷曲的长链可以逐渐伸长，在宏观上表现为高达百分之几百的大变形，且当外力消失后，拉直的长链可以在自身热运动允许的范围内回缩到原来的自由状态，这就是橡胶材料的高弹性[4~5] 。当外载荷达到某一程度时，材料内部可以突然出现局部化的损伤构造，材料由稳定的连续形变状态突然过渡到另一状态，在宏观上可以表现为许多令人感兴趣的特殊现象，如软化，变形局部化，裂纹起裂、传播和分叉，空洞的形成、扩大和联合等不稳定现象[6~10]。超弹性材料因其独特的大变形弹性变形特性使其稳定性问题更为奇妙，空穴的生成、结构的不稳定性问题等正是材料本身的不稳定性产生的[11~15]；其中，材料从一个平衡状态向另一个平衡状态转变的分叉现象尤其重要，分叉也正是我们叙述超弹性材料和结构不稳定性问题的核心。另外，考虑到橡胶材料的物理性质和力学性质对温度影响的敏感性，在一定环境下还必须考虑温度场及温度场和应力场的耦合作用。和当前时刻的空间坐标，两者之间存在一一对应的可逆关系 （1） 即材料的变形模式。相应的变形梯度张量 （2） 描述物体的变形信息，是连续介质力学有限变形几何中一个重要的量，成立如下极分解 （3） 式中，是正交张量，表示纯转动；和是对称的正定张量，表示局部伸长变形，分别称为右和左Cauchy-Green伸长张量，它们具有相同的主值即三个主伸长。但两个伸长张量是一个平方根张量，使用不方便，故引入相应的右和左Cauchy-Green变形张量 （4） 这两个变形张量具有三个相同的主值或三个相同的不变量 （5） 如第三不变量，则称材料为不可压材料，否则称为可压材料。 关于超弹性材料的应变能函数，已有各种各样的形式[20~23]，包括不可压的或可压的，各向同性的、横观各向同性的、各向异性的，小变形的或大变形的，等温的或考虑温度变化影响的，不考虑材料硬化效应的或考虑材料硬化效应的，微观模型或连续介质模型，以不变量形式表示的或以主伸长形式表示的等。如最常用的有不可压neo-Hookean材料 （6） 式中，材料常数为小变形时材料的剪切模量。不可压Mooney-Rivlin材料 （7） 式中，为材料常数。不可压Ogden材料 （8） 式中，为材料常数。 材料的应力状态由作