计算物理MC_first.pptx

一、 Monte Carlo;2;Monte Carlo方法（MC）亦称为随机模拟（Random Simulation）、随机抽样(Random Sampling) 或统计试验（Statistical Testing）方法。;The Comte de Buffon needle experiment, AD 1777;the Comte de Buffon needle experiment;实验者;Monte Carlo方法以概率统计为理论基础，以随机抽样为主要手段。其基本思想是首先建立一个概率（或随机过程）模型，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型（或过程）的抽样试验来获取有关参数的统计特征、解的近似值及精度估计。;设所要求的量x是随机变量ξ的数学期望E(ξ)，那么用Monte Carlo方法来近似确定x的方法是对ξ进行N此重复抽样，产生相互独立的ξ值的序列ξ1，ξ2，…,ξN并计算其算术平均值：;Measuring Error;σ2 = Var(X) = X2 - X2;实验者;显然这一早期的“古典Monte Carlo方法”及相应的抽样实践已寓示与这种数值计算方法相伴随的巨大工作量。所以可以理解直到近半个世纪以来，Monte Carlo方法的应用范围才不断扩展，形成计算数学的一个重要分支，是与电子计算机的相应发展不可分割的。 ;实验者;Monte Carlo模拟就是边产生随机数，边在计算机上进行随机过程模拟。 步骤如下;The Name of the Game;Stanislaw Ulam (1909-1984);大数定理是Monte Calo模拟的理论基础，我先做一下简单的介绍 ;概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。是概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。;主要含义 ;比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。 ;伯努利大数定律：;（二）、 Random Number Generator;The Roulette and Dice;另一种方法是由计算机自己产生随机数列，由于这些随机数不是从实际过程中得来的，故称之为“伪随机数” (Pseudo-random numbers) 。产生随机数列的程序称为随机数产生器(random number generator);Truly random numbers can not be generated on a computer Pseudo-random numbers follows a well-defined algorithm, thus predictable and repeatable Pseudo-random numbers have nearly all the properties of true random numbers;随机数可以有各种分布形式，它们都可以从均匀分布随机数列中得出。而产生均匀分布随机数列的数学方法又有很多种，下面介绍几种。;（1）平方取中;mod (a, p) = a - INT(a / p) * p ;平方取中;乘积取中;（2）乘同余法(line`ar congruential method)的叠代公式为;Choice of Parameters;Short-Coming of LCG;i = 1，2，3，4;If (xn+1.lt.0)then;FUNCTION RANF() DATA IA/16807, IC/2147483647, IQ/127773, IR/2836 COMMON /CSEED/ ISEED IH=ISEED/IQ IL=MOD(ISEED,IQ) IT=IA*IL-IR*IH IF(IT.GT0) THEN ISEED=IT ELSE ISEED=IC+IT END IF RANF()=ISEED/FLOAT(IC) RETURN END;Although popular, by virtue of the ease with which it can be programmed the linear congruential method does not satisfy all of the requirements that are now regarded as important in a random number generator.;随机性和统计独立性要好 容易在计算机上实现