第四章 2 Guass型求积公式与正交多项式.ppt

已知Hermite插值误差是 因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即 代入上式 即有 数值分析 以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正 数值分析 数值分析 将积分区间[a , b] n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。 复化Gauss求积公式的基本思想： 下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式. 将积分区间[a , b] n等分， 三、复化Gauss求积公式 数值分析 数值分析 例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合, 由表9-4,取n=1,得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式 中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式 再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式. 数值分析 School of mathematics and statistics 前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。 第四节 高斯(Gauss)求积公式 数值分析 考虑更一般形式的数值积分问题 定义：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m. 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法 数值分析 定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为 等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1) 数值分析 事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有 左?右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕. 上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 数值分析 定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n ? d ? 2n+1。 数值分析 计算方法 例：选择系数与节点，使求积公式（1） 成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 + c2