2012南京理工大学高等数学1期中测验试及答案.docVIP

2012级高等数学1期中测验试题 一填空（每小题3分，共30分） 1 设 ，则 . 2 极限 . 3 已知 时， 关于 为三阶无穷小，则. 4 设 则 的可去间断点为 _________________. 5 已知 ，则 _______________. 6 函数 的极小值为____________________ 7. 曲线 拐点为__________， 在拐点处的曲率为_______________ 8 函数 的三阶麦克劳林公式是_____________(带Peano余项)。 9 方程 在区间 内根的个数是_______________. 10 曲线 的渐近线方程为 ______________________ 二求极限(每小题7分，共14分) 1 2 三 根据要求求导 （每小题7分，共21分） 1 已知函数 由 确定，求 . 2 已知隐函数由方程确定，求 . 3 设 求 . 四 （8分）从一个半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成锥形漏斗，问留下的扇形中心角 为多大时，做成的漏斗的容积最大。 五 （8分）设 一阶可导， 在 处二阶可导， 又 时 （1） 欲使在 处连续，求值。 （2）在（1）的条件下是否存在？ 若存在求出 六 （7分）设函数 在 上可导，且 证明 存在一点 使得. 七 （6分）设数列由下面递推公式给出 验证数列 有极限，并求的极限。 八 （6分）设函数在上可导， 若，求证： 若，利用（1）的结论求和。 2012级高等数学1期中测验 答案 一填空（每小题3分，共30分） 1 ； 2 4； 3 . 4 ; 5 ; 6 . 7 ; 8 ； 9 1 。 10 . 二 求极限(每小题7分，共14分) 1 解 : 2 解 而 三 根据要求求导 （每小题7分，共21分） 1 解 ， 于是 ， 因此 2 解 两边对 求导可得 于是 3 解: 四（8分）解 设留下的扇形中心角，做成的漏斗半径 高为 。于是漏斗的体积 ，令 得 内唯一的驻点 ， 而实际问题V有最大值。于是时，V有最大。 五 （8分）解 （1）欲使 在零点连续，则 存在，于是 ，因此 ， 而 （2）只要 在0点可导，则 在 上可导。 当 时， 于是, 六 （7分）证明 由于，利用归纳法易证 ，于是数列 是有界数列。 又，于是与同号，从而与 同号，这就验证了 是单调数列。于是 的极限存在， 设极限为 。则 ，因此 。 七（6分） 证明 令 则 在 上可微，且 ，应用罗尔定理，存在 使得 。 由于 于是。化简可得 由于 否则存在 使得 ，此与 矛盾。）于是上式等价于 。 八 证：（1）若，由极限的定义可知：存在，当后有。 由拉格朗日中值定理，有，故 （2）对，取，使得，则由知：，而 。由（1）得： ，从而： 即： 而