第一章 矢量分析B.pptVIP

第一章 矢 量 分 析 2. 旋度 ★定义式 ★特点：旋度矢量的模等于该点的最大环量密度，其方向就是取得该最大环量密度的方向。 ★物理意义 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 2）在矢量场中，若? ?A ? 0，称为有旋场； 3）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度。 ★计算公式 通常使用行列式计算 3、斯托克斯定理 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的 闭合曲线上的线积分。 应用：将曲线积分转换为曲线积分，进而简化计算。（见习题） * 电 磁 场 理 论 一、矢性函数 1、矢性函数的引入 标量 矢量（常矢、变矢） 矢性函数： 2、矢性函数的表示 矢端曲线 矢量方程 矢径 或 §1.1 矢性函数及基本运算 ⑵连续：若矢性函数 在点 的某个邻域内有定义，且 则称 在 处连续。 二、基本运算 1、极限和连续 ⑴极限：设 在点 的某个邻域内有定义（但在 点也可以没有定义）， 为一常矢。若对任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得满足 时，有 则称，当 时矢性函数 有极限，记作 2、导数与微分 ⑴导数：设矢性函数 在 上连续，且 和 都在此区间内，如果极限 存在，则称这个极限值称为在处的导数，简称导矢。 即 几何意义： 表示 的矢端曲线上M点处的切线 上的一个矢量，其方向指向t增大的方向。 ⑵微分：称 为矢性函数 在 处的微分 几何意义： ①方向 dt 0 与 的方向一致 dt 0 与 的方向相反 ②模值 ⑶矢径函数 的微分 模值 弧微分 所以 说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。 是曲线 l 上指向正方向的单位矢量 3、积分 ⑴不定积分：若 ，则称 为 的一个原函数， 的原函数的集合叫做的 不定积分，记作 ⑵定积分：若矢性函数 在区间 上的极限 存在 则称 为 在区间 上的定积分。 三、多元矢性函数的运算 1、偏导 2、全微分 §1.2 正交曲线坐标系 一、正交曲线坐标系的概念 1、广义坐标 直角坐标系中 考虑 若存在单值关系 反过来，同样有单值关系 则称 为广义坐标系下M点的曲线坐标。 2、广义坐标曲面 若 为任意常数 ，则称 广义坐标曲面 注：单值性决定了空间任意一点都对应三个等值曲面，该点是三曲面的交点。 3、广义坐标曲线 两坐标曲面相交所成的曲线称为坐标曲线 线： 线： 线： 4、正交曲线坐标系 过任意点M的三条坐标曲线都相互正交 ，构成正交曲线坐标系。 二、单位矢量 1、坐标单位矢量 引入： 性质：①模值 ②方向： 在M点分别与 线相切， 正方向指向 增加的方向。 ③正交性 2、拉梅系数 空间任意一点 ，矢径 若M点在 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为 若记 ，则单位矢量为 hi称为拉梅系数（Lame）或度量因子 3、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式 4、拉梅系数的几何意义 线上的弧微分 表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。 三. 线元、面元和体元 1、矢量线元 根据矢量运算法则 根据全微分运算法则 引入拉梅系数,矢量线元表示为 其中 ,是矢量线元在M点坐标线ui上的投影 模值： 2、矢量面元 引入拉梅系数 法向矢量 于是 3、体元 引入拉梅系数 四. 常用坐标系 1、直角坐标系 矢径 单位矢量 拉梅系数 线元 面元 体元