第2节 迭代法.pptVIP

§2、迭代解法 一、迭代格式的构造 二、收敛性条件 三、迭代法的收敛阶 * 对于 f(x)=0 (8.1) 将其改写为 x=g(x) (8.2) 取适当的初值 x0 得迭代格式: 并称其为求解(8. 1) 的迭代法， g(x) 称为迭代函数。 x k+1=g(xk ) , k=0,1,2,… (8.3) 设 x* 为 (8.1) 精确解，如果 ， 则称迭代解{ xk } 收敛，否则称为发散。 例8.2 用简单迭代法求 x3-2x-3=0 在[1,2]内的根。 解：容易验证方程[1,2]在 内只有单根 。 改写原方程为 得迭代格式 取初始值 x0=1.9 ，由上面的迭代格式求得近似解如下： 这里 …………… 由于 x8、x9 相当接近，故可取　x*≈x8=1 如果将原方程 x3-2x-3=0 改为 仍取初值 x0=1.9 ， 得迭代格式如下： x1=1.8945647 x2=1x8=1x9=1得到的近似解是不收敛的，越来越发散。 由此可见迭代函数 g(x) 选取的适当，近似解将会收敛；选取的不适当，近似解将会发散。 求得近似解为： x0=1.900 x1=1.930 x2=2.095 x3=3.098 x4=13.37 那么选择怎样的 g(x) 迭代格式才会收敛呢？下面我们将讨论这一问题。 定理8.1 设迭代函数 g(x) 满足条件 由方程 f(x)=0 产生的迭代格式: x k+1=g(xk ) , k=0,1,2,… (8.3) 具有如下的收敛性条件. ?1） g(x)∈C[a,b] ; 3） g’ (x)存在，且存在0 L1，使得对一切 x∈[a,b] ， |g’ (x)|≤L 1 ?2）当 x∈[a,b] 时, g(x)∈[a,b] ; 则有以下结论： 1）方程 f(x)=0 或者 x=g(x) 在[a,b] 上有唯一解 x* . 3） x*有误差估计式 2）对于任意的 x0∈[a,b] 迭代格式 xk+1=g(xk) ，k=0,1,2 … 收 敛, 而且： 或 4） 例8.3 确定xex –1=0 在[0.5，0.65] 内是否存在唯一实根，如果存在，试构造一收敛的迭代格式，并求出近似解，精度要求为ε=10-5 。 解:将原方程改写成如下的形式 x = e-x,则g(x) = e-x 检查定理的条件： 1). g(x)∈C[0.5 , 0.65] ; 2). g(x) = e-x 在[0.5 , 0.65]在内递减,而且 　 g(0.5) =0.6065, g(0.65) = 0.5220， 故有 　　　　　g(x)∈[0.5 , 0.65] 。 3). 由 g’ (x) = -e-x 可得 |g’ (x)| = |-e-x| ≤ 0.6065 . 由此可知 x = e-x 可在[0.5 , 0.65]上有唯一解,而且迭代格式x k+1=e - xk , k=0,1,2, … 收敛。 下面确定满足精度要求ε=10-5 需要迭代的次数： 任取一个初始解 x0=0.5,则由迭代格式 x k+1=e – xk 求得 故最少需迭代22次,计算结果为 按照误差估计式 于是 两边取对数得到： k lg 0.61-5+lg 3.66 查表计算得到： -0.21 k -4.43 解得 k .43/0.21=21.12. x1=e – x0 =e – 0.5=0.60653 021 010 020 09 019 08 018 07 017 06 016 05 015 04 014 03 013 02 012 01 011 00 xi i xi i x22= 0| x21 - x22 |=0.0