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线性二次型最优控制与系统解耦
第四章 线性二次型最优控制 与系统解耦 马树萍 §7.1 问题的描述 考虑线性系统 (7.1.1) x Ax +Bu ,x (0) x0 x 为 n 维状态向量, u 为p 为输入向量. 性能指标为 J u 1 x T t Sx t =+ 1 tf ⎡x T t Qx t +u T t Ru t ⎤dt ( ) ( ) ( ) () () () () 2 f f 2 ∫0 ⎣ ⎦ (7.1.2) x t t t S ,Q, R 分别为n ×n, n ×n, ( ) 为 时的末状态, f f p ×p 维的已知加权矩阵, 且 S ≥0, Q ≥0, R 0. J (u ) 为控制 u 的一个泛函. 2 §7.1 问题的描述 线性二次型最优控制问题, 也称为LQ(Linear Quadratic) 问题. 系统(7.1.1)的LQ问题，就是寻找一个控制 * u (t), 使得其性能指标值最小, 即 J (u*) min J (u ) (7.1.3) u * * 称控制函数u (t) 为最优控制，相应于最优控制 u (t) * * 的系统(7.1.1)的轨线 x (t) 为最优轨线, J (u ) 为最优 性能指标值. 3 §7.1 问题的描述 LQ问题的类型： LQ问题可分为有限时间LQ问题和无限时间LQ问题。 若终止时刻 t tf 固定且为有限值的LQ问题为有限 t ∞ 时刻LQ问题； 时的LQ问题为无限时间LQ问题. f 若末状态 x (tf ) 趋于零, 称为调节问题. 本章主要讨论线性定常系统(7.1.1)的状态调节问题。 4 §7.2 有限时间调节问题 考虑如下的LQ问题，系统为 (7.2.1) x Ax +Bu , x (0) x0 二次指标为 1 T 1 tf T T
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