三角函数常用解题方法.DOCVIP

三角函數常用解題方法 1.關於與的關係： 由於 知道，可推出，又 注意；如果已知，求，須考慮象限才能得出結果的正負號。 例： 已知。 解：∵ 比較 2.同乘除的應用 例1：已知：tan=3，求的值。 解：原式= 例2： 3.同角三角函數的關係 3.單位圓 3.三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； 4.特殊角的三角函數值 3.偶同奇餘，象限定號。 4. 知1求2問題 5.平方差公式 (1)sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;(2). cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β 6.正切公式的變形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) 7.最值、值域”問題，啟用有界性|sinx|≤1,|cosx|≤1 8.升（降）冪公式：、、 9.1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 10.常用的主要結論有： (1)A+B+C=1800 ⑵任意兩邊之和大於第三邊,任意兩邊之差小於第三邊. ⑶等邊對等角:; 大邊對大角:. ⑷底×高=(其中是內切圓半徑) ⑸①；②；③(正弦定理) ⑹(余弦定理) 內切圓半徑r=；外接圓直徑2R= 10.（sinα+sinβ）與（cosα+cosβ）分別平方後相加，可以產生cos(α-β) （sinα+sinβ）與（cosα+cosβ）分別平方後相加，可以產生sin(α+β) 11.已知時三角形解的個數的判定： 其中h=bsinA, ⑴A為銳角時： ①ah時，無解； ②a=h時，一解（直角）；③hab時，兩解（一銳角，一鈍角）；④a b時，一解（一銳角）。 ⑵A為直角或鈍角時：①a b時，無解；②ab時，一解（銳角）。 11. 9.三角和的三角函數： 　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ 　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cos β·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 1. 條件中有“”或要求“”，方法是平方。 例：設，求的值。 2. 已知，求的值，方法是 將寫成，然後分子、分母同除以。 例1. 已知，求的值。 例2. 求函數的值域。 3. 化簡的方法是用1的平方代換或倍角公式。 例：已知x是第二象限角，且，則為（ ） A. 1 B. C. D. 4. 化簡的方法是將分式的分子、分母同乘以其分子（或分母）。 例：已知，又，化簡。 5. 問題中同時出現，方法是從的展開式入手。 例1. 求值。 例2. △ABC中，證明。 6. 由，求的方法是平方相加。 例：，求的值。 7. 化簡，方法是將其分子分母同乘以。 例1. 化簡。 例2. 化簡 8. 由，求，方法是視為整體。 例：已知，求的取值範圍。 9. 變形的方法是引進輔助角。 例1. △ABC中，，求的範圍。 例2. 求的值域。 10. 問題中同時出現“”，方法是“換元”，即令“”。 例：求的值域。 主詞填空 1.兩角和與差的三角函數. （1）cos(α±β)=； （2）sin(α±β)=； （3）tan(α±β)= . 2.倍角公式. (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=2cos2α－1=1－2sin2α=cos2α－sin2α； (3)tan2α=. 3.半形公式. (1)sin; (2)cos=；  （3）tan=. ●題型示例 點津歸納 【例1】 化簡下列各式: (1)cos15°－cos75°; (2)tan19°+tan41°+tan19°·tan41°.  【解前點津】 (1)考慮所對應的特殊角，逆用差角的正弦公式; (2)展開tan(19°+41°)變形即得. 【規範解答】 (1)原式=sin60°·cos15°－cos60°·sin15° =sin(60°－15°)=sin45°=; (2)∵tan(19°+41°)=, ∴×(1－tan19°·tan41°)=tan19°+tan41°,∴原式=. 【解後歸納】 對三角函數公式進行逆用或變用，是必須掌握的一項基本功. 【例2】 已知βα,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α值. 【解前點津】 進行“角變形”.用α+β及α－β的形式表示2α,就能與條件 對上號! 【規範解答】 由條件知:(α－β)是第一象限角，(α+β)是第三象限角. 故sin(α－β)0,cos(α+β)0所以