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§5 线性变换的对角矩阵 主要内容 对角化概念 对角化的条件 目录 下页 返回 结束 对角化的计算方法 一、对角化概念 对角矩阵是矩阵中最简单的一种.于是问题变为哪些线性变换在一组适当的基下可以是对角矩阵. 首页 上页 下页 返回 结束 二、对角化的条件 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 证 对特征值的个数作数学归纳法. 由于特征向 量是不为零的, 所以单个的特征向量必然线性无关. 现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性无关, 我们证明属于k + 1个不同的特征值 1 , 2 , … , k+1 的特征向量 1 , 2 , … , k+1 也线性无关. 假设有关系式 a11 + a22 + … + akk + ak+1k+1 = 0 (1) 首页 上页 下页 返回 结束 成立. 等式两端乘以 k+1 , 得 a1k+11+a2k+12+…+akk+1k+ ak+1k+1k+1 = 0 (2) 第(1)式两端同时施行变换σ, 得 a111 + a222 +…+ akkk + ak+1k+1k+1 = 0 (3) 第(3)式减去第(2)式得 a1(1 - k+1)1 + … + ak (k - k+1) k = 0 . 根据归纳法假设, 1 , 2 , … , k 线性无关, 于是 ai (i - k+1) = 0， i =1, 2, … , k . 首页 上页 下页 返回 结束 但 i - k+1  0 (i  k)，所以 ai = 0， i =1, 2, … , k . 这时等式 a11 + a22 + … + akk + ak+1k+1 = 0 变成 ak+1k+1 = 0 . 又因为 k+1  0, 所以只有ak+1= 0. 所以1 , 2 , … , k+1 线性无关. 根据归纳法原理, 定理得证. 首页 上页 下页 返回 结束 推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中, 线性变换σ的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根, 即σ 有 n 个不同的特征值, 那么σ在某组基下的矩阵是对角形的. 因为在复数域中任一个 n 次多项式都有n个根, 所以上面的论断可以改写成 推论 2 在复数域上的线性空间中, 如果线性变换σ的特征多项式没有重根, 那么σ在某组基下的矩阵是对角形的. 首页 上页 下页 返回 结束 在一个线性变换没有n个不同的特征值的情形如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形? 为此,把定理 8 推广为 这个定理的证明与定理 8 的证明相仿, 也是对k 作数学归纳法 . 证明略. 首页 上页 下页 返回 结束 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于 每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一 起还是线性无关的. 如果它们的个数等于空间的维 数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是 对角矩阵； 如果它们的个数少于空间的维数，那么 这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角 形的. 于是σ在某一组基下的矩阵是对角形的充分 必要条件也可叙述成： 首页 上页 下页 返回 结束 当线性变换σ在一组基下的矩阵A是对角形时: 首页 上页 下页 返回 结束 σ的特征多项式就是 | E - A | = ( - 1) ( - 2) … ( - n) . 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 综上讨论, 可得线性变换在某组基下的矩阵是对角形的另一个充要条件: 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 于是可得矩阵相似于对角形矩阵的一个充要条件: 例 1 设线性变换σ在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 问是否存在一组基, 使σ在这组基下的矩阵为对角 矩阵? 解 σ的特征多项式为 首页 上页 下页 返回 结束 所以,σ的特征值为 由于σ只有一个特征值 -1, 属于 -1 的所有线性无关的特征向量是线性方程组 (-E - A)X = 0 的基础解系. 首页 上页 下页 返回 结束 (