第四节定积分的应用07847.pptVIP

1.问题的提出 1. 直角坐标系情形 练习：写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 极坐标系下平面图形的面积 2. 旋转体的体积 1、平面曲线弧长的概念 (1) 直角坐标情形 (2) 参数方程情形 (3) 极坐标情形 三、 小结 例7 求由曲线 与直线 、 围成的图形 解 由公式 得出所求的体积为 绕 轴旋转而成的旋转体体积. 解 结论：光滑曲线弧是可求长的。 光滑曲线： （三）平面曲线的弧长 弧长元素为 弧长 在[x,x+dx]的一段弧长用点 （x,f(x))处切线上相应的 小直线段长度来近似代替 例1 求星形线 的周长 解： 故所求星形线的周长为： 设曲线弧为 弧长 * * （一）平面图形的面积 （三）平面曲线的弧长 （二）空间立体的体积 第四节 定积分的应用 三、小结 一、定积分的微元法 二、定积分在几何学中的应用 a b x y o 一、 定积分的微元法 ． ． ． ． ． ． ． 第一步 分割（化整为零） 第二步 近似代替(以直代曲） 第三步 求和（积零为整，给出“整”的近似值） 第四步 取极限 x y o 2.将量U表示成定积分表示式的条件 3.将量U表示成定积分表示式的步骤： 求相应部分量 的近似值 记 (1)选取积分变量：根据问题的具体情况，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区间； 例如 选x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]; (2)确定被积表达式； ， 在区间[a,b]上任取小区间 (3) 求定积分 称为整体量U的微元或元素 称上述方法为定积分的元素法; 元素法的实质：化整为零取元素，无限累加作积分。 （被积函数上-下） （一） 平面图形的面积 二 、定积分在几何上的应用 　思考：由曲线 　 、　　　 与直线 　　 、　　　　 所围成的平面图形的面积 （被积函数右-左） 解 两曲线的交点， 面积元素 选 为积分变量 解方程组 能否选y为积分变量? 先求两曲线的交点 选y为积分变量, 解法二 面积元素 解 两曲线的交点 选 为积分变量 注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线 解 两曲线的交点 例2 选x为积分变量, 能否选y为积分变量? 选y为积分变量比较好！ 1.选择积分变量时： (1)尽量少分块(2)积分容易。 2.准确的作图. 注意： 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 o x y 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． （1） （2） 轴 （3） （4） （5） 这样，平面上任意一点 M 的位 置就可以用 OM 的长度 r和从 Ox 到 OM 的角度 ? 来刻画，记作 (r, ?)， 叫做 M 点在这个极坐标系中的极坐标。 2、极坐标的情形 在平面上取一点 O，从 O 出发引一条射线 Ox，并 取定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针 方向），就构成了一个平面极坐标系。 极坐标的概念 极点 极轴 极角 极径 M(r, ? ) O ? r x 极坐标和直角坐标的关系 设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴为 x 轴， 直线 ? = ? / 2 为 y 轴，就得到一个直角坐标系。 于是平面任意一点 M 的直角坐标 (x, y) 和极坐标 (r, ? ) 之间有下列关系： y M(r, ? ) O ? r x y x 或 面积元素 曲边扇形的面积 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 1.平行截面面积为已知的立体的体积 过x=a, x=b的两个平行平面截曲面得到一个几何体，任取[x, x+dx],过x和x+dx作垂直与x轴的平面，截的部分几何体的体积可近似的看作柱体体积。 立体体积 (二) 空间立体的体积 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积 定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 旋转体的体积的求法 x f(x) a b x y o 旋转体的体积为 即： 例6 求由椭圆 绕 轴旋转而成的椭球体的体积. 解 将椭圆方程化为 因此所求的体积为 b -b a -a O x y 体积元素