2.3有极限函数的性质和函数极限的运算法则.pptVIP

科学出版社 科学出版社 * 第二章 极限与连续 第二章 极限与连续 函数极限 2 数列极限 3 1 函数的连续性 4 无穷小与无穷大 3 3 定理2.2（惟一性）若函数极限存在，则极限是惟一的。 定理2.3（有界性） 若 ，则 在 的某 去心邻域内有界。 定理2.4（保号性1）若 ，且 (或A0) 则存在 的某一邻域，当 在该邻域内（但 ）时，有 （或 ）。 函数极限的性质 定理2.5（保号性2）若在 的某一邻域内有 （或 ）,且 则 （或 ）. 定理2.6（保序性）若 ， ， ， 。 以上性质对于 的情形同样成立。 思考: 若定理 2 .5中的条件改为 是否必有 不能! 如 例1 求 解 = 【联想】一般的多项式： = = 对有理函数 为多项式）， 的求法分为以下几种情形： 情形1．如果 ，则 因此， 计算 只需计算函数值 例2 求 解 因为 所以 = 情形2．如果 ，商的极限法则不能直接应用。 若此时 , 若 ，则 可约去公因式 ，再用上述方法 求其极限。 例3 求 解 ，故 例4 求 解 当 时，分子与分母都为 0，但它们有公因式 可约去， 注： 但 ，所以 ，可以约去，此时 被称为零因子，上述方法被称为 零因子分出法。 【练习】求 情形3． ，分子分母都趋于零 “ 属于 ” 型。 观察下列函数的极限， 【联想】 ① 求 ，提示：上下最高次项为 ② 求 例6 已知： 求 的值。 分析 由 可知 的上下最高 次项次数应当相等，且它们的系数比为2008。 解 因为 原式= = 所以 ，且 从而有： 。 例7 求极限 分析 注意到分式中 次数最高 再利用等比数列的极限 解 复合函数的极限运算法则 设 ，但在点 的某去心邻域内 , 又 ，则复合函数 当 时的极限也 存在，且 此法则中若把 换成 或 ,而 把 换成 仍有类似的结论。 例8 求极限 解 令 ，当 时， ， 故 函数极限的性质：唯一性、有界性、保号性、保序性 极限的运算法则：四则运算法则 乘方 开方 复合函数极限的运算法则 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为 什么？ 思考题