第 10 讲 怎样检查结果(第04课时-图形检验法).docVIP

第10讲 怎样检查结果-图形检验法 应知：了解检验的作用。 应会：检验的九种方法。 8．图形检验法 凡是与图形有关的内容，一定要结合图形来检查一下，形数结合，如果有差错很快就能发现。 例.（高一）求函数 的值域。 下面的解法错在哪里？ 解：令 ，则 ， ， ∵ , ∴ 的图像与x轴无交点， 又 ，故图像开口向上， ∴ 。 分析：只要画一个图就可以知道结论不完善，右边的两个图都符合题意，但题目要求的是值域，我们必须进一步确定y的下限。 正确解法：令 ， 则 ， ， ∵ 时， ， ∴ （ 此时 ∴ 另解：由 得 ，再由 得 。 例.（高一）解方程 。 分析：从“勾三股四弦五”可知 x=2 就是原方程的一个解，还有没有其它的解？ 把原方程改写为 ， 指数函数 和 的图像都在x轴的上方，而且单调递减。 现在已知 x=2时， ； 那么当时， ；当时， ， 由上可以判定，方程无“2”以外的解。 例. （高三）6名儿童站成一排表演节目，其中甲不站排头，乙不站排尾，问共有多少种不同的排法？ 分析：设没有条件限制时，6名儿童的所有排列为全集I，甲站排头的为集A，乙站排尾的为集B。A、B都是I的子集，画出图来是： 一见到这个图，就应该考虑A、B是否有交集，如果有，就应该把图画成下面那个图。在有交集的情况下，合题意的结论应该是： 例. （高三）求 的幅角主值。 检验：只要大致画出向量图，从图上马上就能看出幅角主值的应在范围，从而避免错误。 例. （高三）求椭圆 的焦点坐标。 解：原方程化为 ， ∴ ， ， 故 ，椭圆中心坐标为 (-1,1), ∴ 焦点坐标为 (2,1),(-4,1)。 点评：如果不画图，容易把焦点坐标错写成 (-3,0),(3,0)。 例.（高三）已知两定点 A(-1,0)、B(2,0)。求使 MBA=2MAB的点M的轨迹方程。 下面的解法错在哪里？ 错解：∵ MBA=2MAB ， ∴ ， ∴ ，即 ， 化简得 ，所求轨迹为双曲线。 错误原因分析：①线段AB（除去端点）也符合题意，上述解答遗漏了。 ②在解题过程中，实际上引用了 ，这只有在 时才正确，当 时应有 。这一点在解题中被忽略了。 ③当x=-1或x=2时，无意义。 习题： 1．（高一）解方程 。 2．（高二）① 解方程 ；② 解不等式 3．（高三）请用图像法点评下面的两个方程组不同解。 （Ⅰ） ，（Ⅱ） 4． 5．A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它的第四个顶点的坐标。 6．O： Q： P的圆心的轨迹方程。 参考答案： 1．（高一）解方程 。 解：原方程化为 ，即 ⑴ 易见 , 令 , 则 ， 画出其图象，由图可见，原方程最多只可能有两个根。我们已用视察法得到了一个根，还要找另一个根。观察⑴式，左边为偶数，那么右边也应为偶数，则x一定为偶数。依次把2、4、6、……代入⑴式，可知4是方程的另一根。 2．（高二）① 解方程 ；② 解不等式 。 解：如图，曲线 和直线 交于两点， ∴ ①的解为 ，②的解为 或 。 3．（高三）请用图像法说明下面的两个方程组不同解。 （Ⅰ） ，（Ⅱ） 答：画出这两个方程组的图像，由图可见，二者显然不同解。 4．（高三）五人排成一列，其中甲不能站在排头，乙不能站在排尾，丙不能站在中间。问共有多少种不同的排法？ 解：设无限制时的排列为I，甲站在排头的为A，乙站在排尾的为B，丙站在中间的为C，画出集合图。合题意的排列应为 。 I的基数为， A的基数=B的基数=C的基数=， 的基数=的基数=的基数=， 的基数=， 故合题意的排列总数为 -3+3-=64。 5．（高三）已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它的第四个顶点的坐标。 解法一：设第四个顶点的坐标为 D(x,y)， 若AC为对角线，则有 ， 于是得 D(-3,0), 若BC为对角线，则得 D(1,8), 若AB为对角线，则得 D(9,-4)。 解法二：A、B、C实际上是DDD各边的中点，若设所求的三点为D(x,y)、D(x,y)、D(x,y) 则 及 解之得 D(-3,0), D(1,8), D(9,-4)。 点评：如果从平行四边形的对边平行出发，用两条直线的点斜式方程，只需解二元一次方程组，但容易遗根，故最好先画出图来以免遗根。 6．（高三）求与⊙O： 及⊙Q： 都相外切的⊙P的圆心的轨迹方程。 解：设轨迹上的点为P(x,y)，并设⊙P的的半径为r， 则 ⑴-⑵得 即 ⑶ 两边平方化简得 ⑷ 两边平方化简得 ⑸ 故所求轨迹是一条双曲线。 检验：由图可见，双曲线有一部分在两圆的内