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弹性波理论  机电工程学院 硕研99 张 曦 内容提要 弹性波问题的由来及研究的意义 什么是弹性波？ 弹性波在一维直杆中的传播 弹性波的基本理论 波动理论的研究现状与趋势 参考文献 一、 弹性波问题的由来及研究的意义 需要指出，弹性波只是应力波的一种，应力波还包括其它内容，如弹塑性波、塑性波。最后通过几个例子来说明研究弹性波的意义，更确切地说，是研究应力波的意义，因为在处理实际问题时我们不得不涉及塑性问题。 首先提到的是爆破，现有的研究表明，当药包爆炸时，除一部分能量将靠近药包的岩石压碎并造成流动状态外，其余能量则以应力波的形式向外传播。正是由于应力波的作用以及它们在岩石自由面的反射作用造成了岩石的破碎与移动。因此为了更好的发挥爆破的效能，必须具备波动传播以及由此产生的应力状况方面的知识。 凿岩机的活塞锤对钎杆的冲击能是以波的形式经过钎杆与钻头传给岩石，如何合理的设计钎杆的形状以提高钎杆的传能效率和寿命都与波动问题的研究密切相关。 三维地震勘探技术的理论基础是波动理论。 在开展高能量粒子束如电子束、激光、高压水射流等对材料的作用研究时需要借助应力波理论。 二、 什么是弹性波？ 如果扰动的传播方向（波速方向）与质点的运动方向（质点速度的方向）一致，这种弹性波被称为纵波。在固体中传播的纵波与我们熟悉的声波的传播方式是相似的。 如果扰动的传播方向（波速方向）与质点的运动方向（质点速度的方向）垂直，这种弹性波被称为横波。在固体中传播的横波与我们所熟悉的 的传播方式是相似的。 在一般情况下，一个波源在介质中可以同时产生横波和纵波，例如地震波和水面波。最后讨论一个很有意思的问题，这对于我们理解波是有帮助的。 三、 弹性波在一维有限长直杆中的传播 4.首先要回答的问题是：如何建立描述波动规律的数学模型呢？ 下面我们就沿着上述分析所提供的思路来建立数学模型。 4.1 导出波动方程 应当指出我们在推导波动方程（2）时,认为杆的侧面不受任何外力作用，但允许由于横向效应而有尺寸变化，同时还略去了横向的惯性力，并且假定横截面上的应力是均匀分布的。 本例中外力为零，即x =L端是自由的，则 如何求解这一数学模型呢？或者说如何求解具有边界条件和初始条件的偏微分方程呢？这是一个我以前从未遇到的问题，最后我终于在有关数学物理方程的书籍中找到了答案。 因此我们的问题是如何求解定解问题 5.1 行波法 我们不再对该公式进行进一步的讨论，而要重点说明方程通解的物理意义 至此我们已实现了 因为我们的目的是要解决问题一个有界问题，因此我们必须采用另一种更有效的方法 因此驻波的一般表达式可以写做 u(x,t)=X(x)T(t) (11)即各点按同一方式随时间t振动，可以统一表示为T(t)，的振幅随x而异，可写为X(x),自变量t只出现在T(t) ,x只出现在X(x)。 再看（12）式，两边同除以 ， 可得左边是t的函数，与坐标x无关，右边是x的函数，与时间t无关，两边相等显然是不可能，除非两边是同一个常数，把这个设为 先求解X（x）,将 三种可能性逐一加以考察: 将（19）和（20）代入（11）式，得分离变量形式的解为 至此， 已经解出， ,其中系数 和 取决于杆的初始状态， 四、 弹性波的基本理论 五、 弹塑性波研究现状及趋势 　　弹性波的研究目前仍是固体力学中一个十分活跃的分支，它同固体力学其它分支有着内在的联系，而且这种联系越来越密切。总体上看，以下研究趋势特别值得注意的。 六、 参考文献 回顾一下开始，我们的出发点是“把一个波形看作许多个驻波的叠加”。以上的本征振动（21）是满足波动方程（5）和边界条件（6）的线性无关的特解，现在我们把它们叠加在一起。 由于方程波动方程（5）和边界条件（6）都是线性齐次的，那么本征振动的叠加仍然满足方程，我们把这一叠加的结果作为满足波动方程（5）和边界条件（6）的一般解，其中 和 为任意常数。 （22） 考虑初始条件，下面的任务便是求定解问题（5）—（7）的确定解，在数学上就是选取适当的叠加系数