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* 矩阵的三角分解 Doolittle分解 LU分解（直接三角分解法） Crout分解 LLT分解 （平方根法） Cholesky分解 * 5.4 MATLAB实现 一、齐次线性方程组求解指令 1、求矩阵秩的指令：c=rank(A) 键入a=[2 2 1;-3 12 3;8 -2 1;2 12 4]; rank(a) ans = 2 * 2、求矩阵零空间指令：x=null(A) or null(sym(A)) 键入a=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3]; r=rank(a) r = 2 键入 c=null(a) c = 0.7177 -0.0286 -0.6084 0.2725 0.0857 -0.6241 0.3277 0.7317 该题也可键入 c1=null(sym(a)) c1 = [2, 5/3] [-2, -4/3] [ 1, 0] [ 0, 1] [x y z w]=k1ξ+k2η=k1[2 –2 1 0]+k2[5/3 -4/3 0 1] * 二、求解非齐次线性方程组的MATLAB方法 1. 恰定方程组 条件：rank(A)=rank(B)=r=n， 指令： 1）逆矩阵：x=inv(A)*b； 2）左除法：x=A\b； 3）符号矩阵：x=sym(A)\ sym(b)。 * 1）键入 A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; b=[8 9 -5 0]; c=rank(A) = = rank([A b]), rank(A) = = 4 c = 1 ans = 1 2）键入 xx=A\b xx = 3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000 * 2.欠定方程组（不定方程组） 条件：R(A)=R(B)=rn时 指令：它的通解由与其对应的齐次方程Ax=0的通解和Ax=b 的一个特解构成。 求Ax=0的通解用null指令， 求Ax=b的一个特解用矩阵除法。 * 1) 解的判断 键入 A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];b=[1 4 0] ; Ar=rank(A), br=rank([A b]) Ar = 2 br = 2 * 2）求出与Ax=b对应的齐次方程Ax=0通解 由于n-r=2，对应的齐次方程组含有两个基向量。在指令窗中键入 null(sym(A)) ans = [3/2, -3/4] [3/2, 7/4] [ 1, 0] [ 0, 1] * 3）求Ax=b的一个特解 在指令窗中键入 A\b Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.8373e-015. ans = 0 0 -0.5333 0.6000 若键入sym(A)\sym(b) Warning: System is rank deficient. Solution is not unique. ans = 5/4 -1/4 0 0 * 4）方程组Ax=b的通解 方程组Ax=b的通解是由它的一个特解和方程组Ax=0的通解组成，这些前面已经分别求出，将它们组合在一起就是非齐次线性方程组的通解： k1、k2为任意常数。 * 3.超定方程组 条件：R(A)R(B)=R([A b]) 指令：左除A\b 方法求出它的最小二乘解 由于超定方程组没有精确解，所以不能用符号矩阵除法来求解超定方程组。 * 1) 判定方程组解的结构 键入 a=[1