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第一章第二节 随 机 事 件 的 概 率 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率. 事件的概率 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你们课后再想一想其它方面的例子. 例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度. 频率 一、频率与频率稳定性 则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次,称m与n之比 m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A)。 设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试验, 在这n次试验中, 事件A发生了m次。 当试验次数充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小 。这一性质称频率的稳定性。 请看下面试验 掷硬币试验 抛骰子试验 频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。仅管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可能各不相同，但只要 n足当大，频率就会非常接近一个固定值——概率。 因此，概率是可以通过频率来“度量”的。频率是概率的近似。 考虑在相同条件下进行的S 轮试验 第二轮 试验 试验次数n2 事件A出现m2次 第S轮 试验 试验次数ns 事件A出现ms 次 试验次数n1 事件A出现m1次 第一轮 试验 事件A在各轮试验中的频率形成一个数列 下面我们来说明频率稳定性的含义 … … … … 指的是：各轮试验次数n1, n2, …, ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某固定的数值相差甚微 。 频率 稳定在概率 p 附近 频率稳定性 这种稳定性为用统计方法求概率开拓了道路。 在实际中，当概率不易求出时，人们常试验次数很大时，用事件的频率作为概率的估计值，并称此概率为统计概率。 这种确定概率的方法为频率法。 　　例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在相同条件下大量的射击情况进行观察、并记录。 假设他射击n次,中靶m次, 当n很大时,可用频率m/n作为其中靶之概率。 关于频率和概率的关系，需要强调以下事实： 对于较大的n， n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见. 1? 0≤ fn( A) ≤1； 2? fn(Ω)=1, fn(?)=0； 3. 若事件A1,A2,…,Ak两两互斥, 则: 性质 二、 事件概率 I. 概率的定义 下面介绍用公理给出的概率定义 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。 概率的公理化定义 公理2 P(Ω)=1 ;　 　　　　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 。 设E是随机试验，Ω 是它的样本空间，对于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P(· ) 满足下述三条公理: Ω 公理1 (1) 公理1说明，任一事件的概率介于0与1间； 公理2说明，必然事件的概率等于1； 公理3说明，对于任何两两互不相容(互斥)的事件序列，这些序列事件并的概率等于各事件概率之和。 II、概率的性质 1.P(?)=0，即不可能事件的概率为零； 2.若事件A1,A,…，An两两互斥,则有: P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An), 即互斥事件并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性); 4.对两个事件A和B,若A?B, 则有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。 3. 对任一事件A, 均有 Ω 证明： 性质5　对任意两个事件A、B，有 因 得， 再由 及性质3，得结论成立。 说明 n个事件并的多除少补公式 特别地，n=3时 例子见书本P10 小结