现代逻辑学课件第五讲命题逻辑(29340KB).pptVIP

4.4 证明的方法 一 推理有效性的形式证明 (一)条件证明规则 有了基本推导规则和等值替换规则还不足以为所有有效的复杂推理建立形式证明，例如下列推理 A→（B→C） \ ∴ （A→B）→（A→C） 这个推理是有效的，但要证明其有效性还需要引入新的推理规则。因此我们引入条件证明规则C.P。引入这条规则还有一个作用，即可以简化证明过程。 4.4 证明的方法 条件证明规则的根据： 有效推理的逻辑特征是：前提真时结论必真，不存在有使其前提真而结论假的例示。如果我们以有效推理的前提的合取为前件，结论为后件构造一个蕴涵式，那么这个蕴涵式就不可能前件真而后件假。 相反，如果推理式不是有效的，那么存在这样的例示使得该推理式前提真而结论假。因此，与这个推理式相应的蕴涵式就不可能是重言式。 4.4 证明的方法 由此我们看到，如果用一个推理式前提的合取为前件，结论为后件构造一个蕴涵式，那么这个推理式与该蕴涵式之间存在这样一种等价关系：如果推理式是有效的，那么蕴涵式是重言式；如果推理式不是有效的，那么蕴涵式就不是重言式。 等值替换规则中的移出律(Exp)指出，如下两个蕴涵式是逻辑等值的： ((p∧q)→r) ? (p→(q→r)) 两个蕴涵式分别对应于如下推理式： 4.4 证明的方法 (p∧q)→r 对应于 p→(q→r) 对应于 p p ? ? ? ? ? ? q ∴ q→r ∴ r 这两个推理式的区别在于：命题公式“q”在左边的推理式中是前提，而在右边的推理式中是结论的构成部分。就是说，右边的推理式比左边的少了一个前提“q”，并且它们有不同的结论：左边推理式的结论是“r”，右边推理式的则是“q→r”，“q”从前提中消去而变成了结论的前件。 4.4 证明的方法 由于两个蕴涵式是逻辑等值的，即如果一个是重言式，另一个也必是；一个不是重言式，另一个也必不是。因此这两个推理式是等价的：如果一个推理式有效，另一个必有效；一个是无效的，另一个也必无效。 条件证明规则C.P p ? ? q ∴p→q 4.4 证明的方法 例1 A→（B→C） \ ∴ （A→B）→（A→C） 证明： ① A→（B→C） P ② （A∧B）→C ① Exp ③ （B∧A）→C ② Com ④ B→（A→C） ③ Exp ⑤ A→B ⑥ A→（A→C） ④⑤ HS ⑦（A∧A）→C ⑥ Exp ⑧ A→C ⑦ Taut ⑨（A→B）→（A→C） ⑤-⑧ C?P 4.4 证明的方法 由上例中我们看到，第⑤步是将结论的前提作为一个附加前提引入了形式证明中，到第⑧步推出了结论的后件，于是就运用C?P规则消去⑤这个附加前提，即以⑤为前件⑧为后件而得到⑨，⑨恰好是结论。 我们在引入附加前提⑤的同时就用线段标明了这个附加前提的辖域。在辖域中出现的⑥、⑦和⑧这几个公式依赖于①和⑤这两个前提。而公式⑨出现在附加前提⑤的辖域之外，因为C?P规则的运用已经将⑤从前提中消去，⑨就只依赖于前提①了。 4.4 证明的方法 因此，标明辖域在条件证明规则C?P的运用中有很重要的意义。我们规定，凡引入附加前提