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小影院座位安排问题
* * 问题的提出 案例4 小影院座位安排问题 建模目的：最佳座位 、观众的平均满意度最大 一、假设与记号 假设 1.同一排的观众的视角θ，仰角ω相同 2.观众的座高取统一值C 3.观众的满意度，只考虑在0≤ω≤30°条件下，视角θ越大越好，不考虑其它因素 记号 θ：视角，即观众眼睛到屏幕上，下边缘的视线的夹角 ω：仰角，即观众应为看见屏幕的上边缘需上仰头部的角度 β：观众为看见屏幕的下边缘需上仰头部的角度 S ：观众对座位的满意程度 ：观众对座位的平均满意程度 ：地板的曲线方程 ：观众的视点所在的曲线方程 二、问题1模型与求解 minS=cotθ (1) s.t θ≤ω≤30° (2) 模型 求解 方法一 以屏幕为弦，作与视点所在直线相切的圆 图2 图2所示为电影院剖面图 由平面几何知识易知，切点处视角θ最大（cotθ最小） 若此时仰角ω满足式(2)，则切点就是所求的最佳位置 设圆心的坐标为 观众的视点所在的曲线方程为： 几何关系得 记： 切点的坐标 式(4)在当ω满足式(1)时的结论 若切点的位置处ω不满足条件(2) ( ) 圆心横坐标 × × × × × × ÷ ÷ ? ? ? ? è ? - - + - = 2 2 2 1 2 2 2 2 0 4 tan tan k h k k k x a a 可见：随χ的增大，仰角ω减小 由几何知识知，当视点逐渐远离切点时，视角θ也逐渐减小， 将视点沿χ增大的方向移动以使仰角减小，当ω恰好等于30°时，即是所要求的最佳位置 由（2）得： 参数应满足条件 最佳位置 结果 方法二 三、问题2模型与求解 模型 求解
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