极限的概念教案.docVIP

【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时） 【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。会应用数列极限的定义证明数列收敛及有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 【教学重点】：数列极限的概念。 【教学难点】：数列极限的定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 一 引言 通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。 二、数列极限的定义． 1 定义（数列）：若函数的定义域为全体正整数集合，则称 或 为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列也可以写作 简记为，其中称为该数列的通项。 2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 3 数列极限的数学定义 以为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限地接近。②随着的无限增大，与的距离无限减少。③随着的无限增大， 无限减少，也就是说会任意小，只要充分大。 如：要使，只要即可； 　　要使，只要即可； 任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。 综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有。此即以为极限的精确定义，记作或。 定义 设为数列，为实数,，若对，总，使得当时有 则称数列收敛于,称为数列的极限。并记作或。由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把写成。 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。 注意：关于：① 的任意性。刻化与常数的接近程度，越小，表示与越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替； 关于：相应性。一般地，随的改变而改变，因此常把看作来强调是依赖于的，一经给定，就可以找到相应的一个。当然并不是唯一的，之后的任意的项数都可以作为。 4 举例说明如何用定义来验证数列极限 例１　证明?。 证 ，考察?，可得。 于是可取，则当时，便有：。 所以。 例2　证明。 证 考察，因此对，只要，，上式就小于，故取，则当时，总有 ，即。 例3 证明 证 若，则结果显然成立。 现设,记,由，得 ,因此取，所以,当时，便有。 即。 例4 证明。 证 ①=1时,，显然成立。 ②时，令，则 所以为了要使，只需，可取。 ③时，令，则由 ,可得，可取。 总之，当时，总有。 5．数列极限证明的步骤 (１)考察化简； (２)放大，通常适当放大或条件放大； (３)解，求出需要的； (４)用语言再顺着写下来。 6．数列极限的几何理解 在定义１中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）。反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个。 　　　　　　　（　　　　　　　　　　　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　 由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 　　定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a. 由此可见：１）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。 否定定义1　设为数列，为定数。若对，对，总存在，且，则称数列不收敛于。 否定定义　若存在，使得数列中有无穷多项落在之外，则不以为极限。 例５　证明和都是发散数列。 证　(，，使得) 取,则在之外所有满足的项有无穷多,显然都落在之外，所以不以任何a为极限。即数列发散。 例６设，作数列：，求证。 证　由，故，数列和中落在之外的项至多只有有限项，所以落在之外的项也至多只有有限项，故由定义得。 例７　设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，求证：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 证　设为收敛的数列，且，按定义，，数列中落在之外的项最多只有有限项，而数列是对增加、减少、改变有限项之后得到的。故数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 三　小结 本课时的主要内容要求： 使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。 会应用数列极限的定义证明数列的有关命题。 能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 1