第6章常微分方程与差分方程6.4可降阶的高阶微分方程(1141KB).pptVIP

6.4 可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 这是变量可分离的方程，两边积分，得 即 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。 例 解 例6.35 解 这是一个一阶微分方程。设其通解为 连续积分即可求解。 教材上是n=2的特例 例 解 两边积分，得 即 再积分，得原方程的通解 例6.37 解 即 上述方程可化为 故 所以 于是，原方程化为 这是一个一阶微分方程(p为函数，y为自变量)。设其通解为 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。 解 于是，原方程化为 例6.38 或 或 例6.39 解 原方程化为 例6.40（略） 例6.41 解 原方程可化为 例6.42 解 而由原方程及求导后的方程可知，有 于是，原方程成为如下初值问题的解： 所以 形如 的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。 可以直接写出该方程的通解： 并且由下列方程组可求得该方程的奇解： （略） 证 将克莱罗方程两边关于 x 求导，得 ( 通解 ) 例 解 原方程即 由题意 这是一个克莱罗方程，故其通解为 故原方程有奇解 综上所述，原方程的通解为 且方程还有奇解