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性质5 如果 和 分别是 在区间 上最小值和最大值，则 （如图5.9所示） 图5.9 性质6（积分中值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使得 图5.10 当 （ ） 时，积分中值定理的几何解释是：由曲线 ，直线 ， 和 所围成的曲边梯形的面积， 等于以区间 为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积（如图5.10所示）。 通常我们称 为函数 在 上的平均值。 例5.1.3 不计算定积分的值，比较定积分 与 的大小。 解： 因为 当 时， ， 所以 。 作业： 习题5 1 2 经济数学 第5章 积分及其应用 第5章 积分及其应用 本章内容： 5.1 定积分的概念与性质 5.2 原函数与微积分基本定理 5.3 积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5 积分的应用 授课时数：约18学时 知识目标 了解广义积分的概念，了解广义积分敛散性的判别方法。 理解与掌握定积分和不定积分的概念和性质。 掌握不定积分和定积分的基本方法，掌握积分在经济和 几何方面的应用。 能力目标 能熟练地求不定积分与定积分。 能应用积分解决经济和几何方面的实际问题。 掌握定积分的模型思想，树立以直代曲、逐步 逼近的辩证观点。 【实例1】 曲边梯形面积的计算 5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 两个实例 在平面直角坐标系里，由直线 轴以及连续曲线 所围成的图形称为曲边梯形。如图5.1所示。 【案例5.1】曲边梯形面积如何计算? 须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出曲边梯形面积。 【分析】 下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割 在区间 内任意插入 个分点 将区间 分成 个小区间 ，…， ， ，…， 第 个小区间的长度记为 ， 即 过每个分点作 轴的垂线，把曲边梯形分成 个小曲边梯形（如图5.2所示）。 图5.2 2）局部近似 在第 个小区间 上任取一点 ，用 为宽， 为高的小矩形面积 近似代替相应的小 曲边梯形面积 （如图5.2所示）， 即 3）总体近似 将每个小矩形的面积相加，所得的和就是整个曲边梯形 面积的近似值，即 4）取极限求精确值 当这些小区间长度的最大值 趋向于零时，和式 的极限就是曲边梯形的面积， 即 上述计算表明，曲边梯形面积用一个和式的极限计算。 实例2. 由边际计算总改变量 【案例5.2】已知边际产量函数，求总产量的改变量 生产某商品总产量在时刻 的变化率为 。求从 到 这段时间内总产量的改变量。 【分析】 如果总产量在时刻 的变化率 的改变量就是 是常数，那么总产量 。但一般情况下 是变化的，用 计算显然不合适，同样须采用分割、近似、逼近的方法计算。 我们同样分四步进行结算： 1）分割 在时间区间 内任意插入 个分点 把时间区间 分成 个小区间 ， ，…， ，…， 第 个小区间的长度记作 ，即 2）局部近似 在第 个小区间 上任取一点 产量的变化是微小的，可以将 ，在很短的时间间隔内， 内平均产量 近似代替小时间段内产量的改变量，即 3）总体近似 把 个小区间内产量的改变量相加，得到整段时间 上产量改变量的近似值，即 4）取极限求精确值 当这些小区间长度的最大值 趋向于零时，和式 的极限就是在整段时间 上产品总产量的改变量，即 上式表明，已知总产量的变化率求时间 上产品总产量的改变量也是一个和式的极限。 5.1.2 定积分的定义 定义 5.1 设函数 在区间 上有定义， 在 上任意取 个分点： ，将区间 分成 个小区间 ，每个小区间的长度为 ，记 ，任取 如果极限 ， 存在，则称此极限值为函数 在区间 上的定积分，记为 ， 即 式中： 称为积分符号， 称为被积函数， 称为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限。 如果函数 在区间 上的定积分存在，则称函数 在 上可积。否则称函数 在 上不可积。 对于函数的可积性，我们有下列重要结论： 定理 5.1 如果 在区间 上有界，且最多有有限个 间断点，则 在区间 上一定可积。 注意： 的值与区间 的分法以及点 的取法无关。 因为定积分 是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值， 它只与被积函数 和积分区间 什么字母表示无关， 有关，而与积分变量用 即有 ＝ 如