基本计数方法.PDFVIP

离散数学讲义稿 第三部分 数论与组合论 8章 基本计数方法 林兰 2011.4 内容 n 8.4 容斥原理 n 8.5 鸽巢原理 1 离散数学讲义稿 8.4 容斥原理 n 基本思想： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计 算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的 结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 n 两个集合的 斥原理 如果被计数的事物有A 、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+属于B类元素个数-既是 A类又是B类的元素个数。 |A ∪B| = |A|+|B| - |A ∩B| 8.4 容斥原理 例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分， 并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一 得满分的同 学有多少人？ 15+12-4=23 例2：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频 道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没 看过的有多少人？ 100-(62+34-11)=15 2 离散数学讲义稿 8.4 容斥原理 n 三个集合的 斥原理 如果被计数的事物有A 、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类 元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个 数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元 素个数。 |A ∪B ∪C| =|A|+|B|+|C| - |A ∩B| - |B ∩C| - |C ∩A| +|A ∩B ∩C| 8.4 容斥原理 例：计算从1到1000 的整数中有多少个能被3，5，7中至少一个整除？有多少个不能被3，5，7 至少一个整除？ 解：设由前1000个正整数构成集合S ，集合A表示能被3整除的数，集合B表示能被5整除的 数，集合C表示能被7整除的数。则能被3，5，7中至少一个整除的集合为A ∪B ∪C。现求 ： |A ∪B ∪C| = |A | + |B| + |C| - |A ∩B| - |B ∩C| - |A ∩C| + |A ∩B ∩C| 由题意：|A |= 1000/3 」=333，|