高中数学联赛数论专题.docVIP

课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址：/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第一章　数论专题 ? 　　我们把未知数的个数多于方程的个数,且其解受到某种限制的方程,叫做不定方程.通常主要研究不定方程的正整数解、整数解、有理数解等.　　不定方程问题的常见类型是：　　（1）求不定方程的解；　　（2）判定不定方程是否有解；　　（3）确定不定方程解的数量（有限还是无限）.　　不定方程问题的常用解法是：　　（1）代数分析与恒等变形法，如因式分解、配方、换元等；　　（2）估计范围法，利用不等式放缩等方法,确定出方程中某些变量的取值范围,进而求整解；　　（3）同余法，即恰当选取模m,对方程两边做同余分析,以缩小变量的范围或发现性质,从而得出整解或判定无解；　　（4）构造法，构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解；　　（5）无穷递降法，无穷递降法是一种用反证法表现的特殊形式的归纳法,由Fermat创立并运用它证明了方程x4+y4=z4没有非零整解.从此,无穷递降作为一种重要的数学思想方法广为流传应用,并在平面几何、图论及组合中经常用到它.　　引例：求所有正整数对（x,y）满足xy=yx-y. 　　1.二元一次不定方程　　定义1 形如ax+by=c（a,b,c∈Z, a,b不同时为0）的方程，称为二元一次不定方程.　　定理1 不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是（a,b）|c.　　定理2 设（x0,y0）是不定方程ax+by=c的一组整解,则此方程的一切整数解为（x,y）=（）,其中t∈Z.当（a,b）=1时, （x,y）=（x0+bt,y0-at）. 　　例1求不定方程3x+2y+8z=40的正整数解。 　　例2足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。那么，一个球队打14场球积分19分的情况共有多少种. 　　例3公元五世纪末，我国数学家张丘建在他的名著《算经》里提出一个世界数学史上著名的“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。 　　例4时钟的刻度盘（写有数字1,2,…,12的圆盘），以其中心为轴，固定在教室的黑板上，刻度盘可以绕轴转过30° 的整数倍的任意角度。起初，在黑板上靠近刻度盘上的数字旁边的地方写上“0”，然后转动刻度盘若干次，每次转动停止后，都将刻度盘上的数加到靠近它旁边的黑板上所写的数字，这样是否可以做到：　　（1）黑板上所写的数都是1984？　　（2）黑板上所写的数除了一个之外，其余所写的数都是1984？　　（3）黑板上所写的数除了两个之外，其余所写的数都是1984？ 　　2.勾股数定理　　定义2 形如x2+y2=z2的方程叫做勾股数方程,并称满足（x,y）=1的解为方程的基本解.　　引理 给定正整数n,且n≥2,则不定方程uv=wn ①,适合w0,u0,v0,（u,v）=1的一切正整数解为:u=an,v=bn,w=ab,其中a0,b0,（a,b）=1 ②. 　　例1求最小的正整数n（n≥2）,使得为整数. 　　定理 方程x2+y2=z2 ③适合 条件x0,y0,（x,y）=1,且2|x ④的一切正整数为:x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2,其中ab0,（a,b）=1,且a,b一奇一偶 ⑤.　　推论 单位圆上一切有理点为及,其中a,b不全为零,“±”号可任取. 　　例2已知xn+yn=zn无正整数解.求证:方程x2n+y2n=z2也无正整数解. 　　例3求方程2x+3y=z2的所有整数解（x,y,z）. 　　3.沛尔（pell）方程　　定义3 通常pell方程指以下四个不定方程：x2-dy2=±1，±4，其中x，y∈Z， d∈N*，且d不是平方数。　　如果pell方程的正整数解（x，y）中，使得x+y最小的正整数解为（x1，y1），则称（x1，y1）为方程的最小解。