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第一章 矢量分析 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 常用的矢量恒等式 下 页 上 页 返 回 三种常用的正交坐标系 1.1 标量场和矢量场 1、场的表示 场矢量 A(r)=ex Ax+ ey Ay+ ez Az x y z A R=r-r’ r r’ Az Ax Ay 图1.1.1 矢量场的表示 电场 E(r)=ex Ex+ ey Ey+ ez Ez 下 页 上 页 返 回 ? 标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度） ? 矢量的表示方式 注：矢量书写时，印刷体为场量符 号加粗，如 E。教材上符号即为印刷体。 位置矢量 : r=ex x+ ey y+ ez z 相对位置矢量: R=ex( x-x’)+ ey (y-y’)+ez (z-z’) 下 页 上 页 返 回 g b a cos cos cos A z y x e e e e + + = = A 单位矢量: 人们在书写时常写成: 即: x y z A R=r-r’ r r’ Az Ax Ay 图1.1.1 矢量场的表示 ? 矢量的运算 说明：矢量间不存在除法运算。 下 页 上 页 返 回 按物理量的性质 标量场 物理量为标量（温度场,电位场） 矢量场 物理量为矢量（电场、磁场） 按物理量变化特性 静态场 物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化 2、场的分类 下 页 上 页 返 回 ?标量场 f(r)=常数 （如温度、密度、电位、电压 等） 3、场的全微分 dA(r)=ex dAx+ ey dAy+ ez dAz 4、场图 形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为 下 页 上 页 返 回 矢量场--矢量线 其方程为 三维场 图1.1.3 矢量线 在直角坐标下: 图1.1.2 等值线 P n o 下 页 上 页 返 回 1、直角坐标系（x，y，z） 1.2 三种常用的正交坐标系 三者成正交右螺旋关系 下 页 上 页 返 回 单位矢量： 图1.2.1 直角坐标 2、圆柱坐标系（r、j 、z） 下 页 上 页 返 回 三者成正交右螺旋关系 单位矢量： z o x y r z j er ej ez 图1.2.2 圆柱坐标 P z er r 圆柱坐标与直角坐标间的关系： 下 页 上 页 返 回 z q j x y o er eq ej r 图1.2.3 球坐标 3、球坐标系（r、q、j） 下 页 上 页 返 回 三者成正交右螺旋关系 单位矢量： 球坐标与直角坐标间的关系： 下 页 上 页 返 回 1.3 矢量场的散度与高斯散度定理 若 ， 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质。 矢量 A 沿有向曲面S 的面积分 1、矢量的通量 下 页 上 页 返 回 P 图1.3.1 矢量场的通量 ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 图1.3.2 矢量场的源 对于静电场： ，若f〉0，说明q〉0， 电通量由S面向外扩散，f0,电通量向S面内收集，由此可说明电力线从正电荷出发，终止于负电荷。 对于磁场： ，说明S面内无源，磁力线是闭合曲线。 下 页 上 页 返 回 2、矢量的散度 如果包围点P的闭合面?S所围区域?V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在定义为矢量A的散度，即 直角坐标： 下 页 上 页 返 回 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 在矢量场中，若?? A= ??0，称之为有源场，? 称为(通量)源密度；若矢量场中处处?? A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； ?? A= 0 (无源） ?? A= ???0 (负源) ?? A= ??0 (正源) 散度的物理意义 下 页 上 页 返 回 3、高斯公式(散度定理) 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 图1.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量 高斯定理 下 页 上 页 返 回 1.4 矢量场的旋度与斯托克斯定理 1、矢量的环流 水流沿平行于水管轴线方向 流动?=0，无