[所有分类]第一章 行列式2.ppt

第三节 行列式的性质 余子式与代数余子式 (行列式展开定理) 第四节 行列式的计算 第五节 克莱姆法则 例7： 例9： 箭形行列式 例8： 5。箭（爪）形行列式 目标：把第一列化为 成三角形行列式 证 用数学归纳法， 例10 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙行列式 证毕. 例如, 7。递推：要保持行列式自身的结构，将高阶 化为低阶 将行列式按照最后一行展开得到： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解可以表为 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 证略. 例1 用克莱姆法则解方程组 解 所以方程组有唯一解, 为齐次线性方程组. 称方程组 (2) 显然 是(2)的一个解, 称为零解. 推论　如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)只有零解. 以后证明: 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)必有非零解. 有非零解？ 例2 问 取何值时，齐次线性方程组 解 所以当 或 时,方程组有非零解. * 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 DT=D 证略 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号. 例如 证略 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式, 即 证略 说明 行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符号的外面． 推论　如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零. 例1．计算行列式 4 10 5 3 6 3 1 4 2 - - - = D 解：因为第一列与第二列对应元素成比例， 所以, 性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于 两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全 与原来行列式的对应的行一样。 ＝ 例2 计算 解： 例2 计算 解： 例3　证明 由性质4， 证 上式左边 由性质2推论，第二、第三个行列式的值为0； 再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后， 上式 性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后 再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的 值不变。 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： 证明： 作 得 例4． 0 -1 -1 2 2 1 1 0 -1 2 -1 0 1 -1 0 2 0 -1 -1 2 2 1 1 0 -1 2 -1 0 1 -1 0 2 - 0 0 -2 2 0 0 -2 4 - 0 -1 -1 2 1 -1 0 2 0 3 1 -4 0 1 -1 2 0 -1 -1 2 1 -1 0 2 - 0 0 0 -2 0 0 -2 4 - 0 -1 -1 2 1 -1 0 2 =-1?(-1)?(-2)?(-2) =4。 例如 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 或 按第i行展开 按第j列展开 证略 推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零. 例5　设 定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即 这是因为 第i行 第j行 同样, 行列式对列展开, 也有 则有 计算行列式的基本方法: 1）对角线法：行列式是低阶的，二，三阶行列式 2）按照某行（列）展开：行列式某行或者某列 含有较多的零元素，因此，展开时候只需要计算 较少的低阶或者易求的行列式 例1 计算行列式 解