数学一轮复习精品试题第26讲 平面向量的应用.docVIP

第二十六讲　平面向量的应用 班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．(·全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为(　　) A．－4＋　　　　　　　　　 B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2 解析：设|，∠APB＝θ，则tan＝，cosθ＝，则＝x2·＝＝＝x2＋1＋－3≥2－3，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时，取“＝”，故的最小值为2－3，故选D. 答案：D 2．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析：依题意得sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sinC＋cosC＝1,2sin＝1，sin＝.又C＋，因此C＋＝，C＝，选C. 答案：C 3．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以=(x+3,y), =(x-3,y).由=0得+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3. 答案：B 4．在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a、b、c成等比数列，a＋c＝3，cosB＝，则等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：由已知b2＝ac，a＋c＝3，cosB＝，得 ＝＝， 解得ac＝2. 则·＝ac·cos〈，〉 ＝2×＝－. 答案：B 5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 解析：F＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28，所以|F3|＝2，选D. 答案：D 6．若O为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对 解析：由已知得＝0，设BC中点为D， 则，即中线AD与高线重合， ∴△ABC为等腰三角形． 答案：C 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋则＝________. 解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)， ∴＝(0,1)，＝(－，－2)． ∴＝－2. 答案：－2 8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________． 解析：如图所示，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为依题意知||＝12.5＝， ||＝25. ∵， ∴2， ∵⊥， ∴·＝0， ∴25×cos(∠BOD＋90°)＋2＝0， ∴cos(∠BOD＋90°)＝－， ∴sin∠BOD＝， ∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30° 9．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m＝________. 解析：取BC的中点D，则，且OD⊥BC，AH⊥BC. 由，可得， ∴. 即0＝(m－1)·＋0，故m＝1. 答案：1 10．已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________． 解析：画图可知，较短一条对角线的长度为 ＝＝2. 答案：2 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知a＝(1，x)，b＝(x2＋x，－x)，m为实数，求使m(a·b)2－(m＋1)a·b＋10成立的x的取值范围． 解：∵a·b＝x2＋x－x2＝x. ∴m(a·b)2－(m＋1)a·b＋10?mx2－(m＋1)x＋1＜0. (1)当m＝0时，x＞1. (2)当m≠0时，m(x－)(x－1)0， ①当m0时，x1或x. ②当0m1时，1x. ③当m＝1时，x∈?. ④当m1时，x1. 12．在?ABCD中，A(1,1)，＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. (1)若