数学一轮复习精品试题第47讲 直线、平面垂直的判定及其性质.docVIP

第四十七讲　直线、平面垂直的判定及其性质班级　　　　　姓名　　　　　考号　　　　　日期　　　　　得分　　　　 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线(　　) A.平行　　　　　　　　B.相交 C.异面 D.垂直 解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B排除；若与地面相交，则A排除，选D. 答案：D 2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　) A.若mβ，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C. 答案：C 3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC(　　) A.是非等腰的直角三角形 B.是等腰直角三角形 C.是等边三角形 D.不是A、B、C所述的三角形 解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到△ABC各顶点的距离相等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故△ABC是等边三角形，选C. 答案：C 4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为 (　　) A.　　　　B. C.1　　　D. 解析：如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE，因为二面角B—AD—C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC. 由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝，故选B. 答案：B 5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么(　　)A.PA＝PBPC B.PA＝PBPC C.PA＝PB＝PC D.PA≠PB≠PC 解析：∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.选C. 答案：C 6.(·郑州质检)在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：在原图中连接AC与BD交于O点，则AC⊥BD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝，由于DO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1 得cos∠DOB＝＝＝， 故选A. 答案：A 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.) 7.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为　　　　.解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD， ∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG， 故点P的轨迹是△EFG， 其周长为＋. 答案：＋ 8.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝　　　　时，CF⊥平面B1DF.解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF， 只需CF⊥DF即可. 令CF⊥DF，设AF＝x， 则A1F＝3a－x. 由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝， 即＝， 整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a. 答案：a或2a 9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　　　. 解析：由题意构作四个命题： (1)①②③④；(2)①②④③；(3)①③④②；(4)②③④①. 易判断(3)、(4)为真，应填m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β). 答案：①③④②；②③④① 评析：本题为条件和结论同时