【精品论文】重积分的应用(论文资料).docVIP

对重积分应用的一些想法 王烁正阳，P在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化”，无论是函数的微分，积分以及场论乃至后面的级数，无不体现了多元这一特点，正所谓从1到2是质变，从2到3只是量变。而在学习的这些有关多变量的知识之中，重积分，尤其是它的应用给我留下了很深刻的印象。本文将重点结合一些实例，对重积分应用中曲面的面积做一些补充，着重总结一下重积分在物理学中的应用，最后简单引申一点重积分在生活实际中的应用。目的在于帮助读者尤其是各位同学，加深对重积分的了解，回顾一下所学过的知识，并能在这之中得到一些启发。 在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学期的学习中，我们已经知道了普通积分代表的是平面面积，所以我们不难提出这样的问题：非平面的面积如何计算？也就使人们想要把定积分的元素法推广到二重积分的应用中，并用此方法来解决曲面面积的问题，既若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域da时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)da的形式,其中(x,y)在da,内这个f(x,y)da称为所求量U的元素，记为du.，从而有了这之后用此来表示曲面面积元。对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详细，这里再提供另一种想法 设曲面S的方程为z(f(x( y)( f(x( y)在区域D上具有连续偏导数( 设dA为曲面上点M处的面积元素(dA在xOy平面上的投影为小闭区域d(( 点M在xOy平面上的投影为点P(x( y)( 因为点M处的法向量为n(((fx( (fy( 1)( 所以 设曲面S的方程为z(f(x( y)( f(x( y)在区域D上具有连续偏导数(设dA为曲面上点M处的面积元素(dA在xOy平面上的投影为小闭区域d((点M在xOy平面上的投影为点P(x( y)( 因为点M处的法向量为n(((fx( (fy( 1)( 所以 提示：因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n(^k)( 所以 dA(cos(n(^k)(d(( 又因为n(k(|n|cos(n(^k)(1( cos(n(^k)(|n|(1( 所以dA(|n|d(( 同样，对于曲面面积的认识，我们也不应仅停留在课本中那些抽象的图形上，下面举一实例加以说明 下面我们来着重看一下重积分在物理中的应用 质量 平面薄片的质量 设该薄片在面上占据平面闭区域D，已知薄片在D内每一点 (x， y)，且在D上连续。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域，则薄片中对应于(也表示其面积)部分的质量可近似地表示为，这就是质量微元，以其为被积表达式，在区域D上二重积分，得 。 (4.6) 特别地，如果平面薄片为均匀的，即(为常数时，上式可简化为 (( 为D的面积)。 (4.7) 类似地，有空间物体的质量如下 设该物体占有空间区域，体密度函数为，则质量微元为：，故 。 这部分内容在书上并没有专门说到，只是老师提过，这里略作总结，并举一例说明 例：一物体占有的空间区域由曲面，，围成，密度为，求此物体的质量。 解 。 由于书上说的很简单，以下也把重心和转动惯量简单的说一下，以加深理解。 重心坐标 设面上有n个质点，分别位于处，质量分别为。由力学知，该质点系的重心坐标为 和 其中为该质点系的总质量， 和分别为该质点系关于x轴和y轴的静力矩。 设一平面薄片在面上占据有界闭区域D，已知薄片在D内每一点 (x， y)，且在D上连续。由前面平面薄片质量的讨论可知，对于闭区域D上任一直径很小的闭区域，薄片中对应于(也表示其面积)部分的质量可近似地表示为，这部分质量又可近似地看成是集中在点 处，由此可得对应于的小薄片关于x轴和y轴的静力矩微元及 ， ， 以它们为被积表达式在区域D上二重积分，可得平面薄片关于x轴和y轴的静力矩 和 ， 所以平面薄片的重心坐标为 和 。 特别地，如果平面薄片为均匀的，即(为常数，上式可简化为 和 其中为平面薄片的面积。 由此我们也可以思考一下空间立体也有形心的概念，其计算公式是否也地求得？ 转动惯量 平面薄片的转动惯量 转动惯量是对物体在转动过程中的惯性大小的度量。对于质量为、且位于平面上处的质点，其转动惯量为： ， ，