离散数学代数系统代数结构课件.ppt

定义：令X,+,×和Y, ?,?是含有两个运算的代数系 统，其中+、×、 ?、?都是二元运算，如果存在双射 f:X?Y, 使得对任何x1 , x2∈X，满足 f(x1+x2) = f(x1) ? f(x2)。 f(x1×x2) = f(x1)? f(x2)。 则称这两个代数系统同构。 6. (保持分配律)如果运算+对×可分配, 则?对?也可分配 证明：任取y1 ,y2 , y3 ∈Y 因 f :X?Y是满射, ?x1 ,x2 , x3∈X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ? ( y2? y3 )=f(x1)?(f(x2)?f(x3)) = f(x1) ?f(x2×x3)= f(x1+(x2×x3)) = f((x1+ x2)×(x1+ x3)) = f(x1+x2)? f(x1+x3) = (f(x1)?f(x2))? (f(x1)?f(x3)) = (y1?y2)? (y1?y3) 所以?对? 也可分配。 7. (保持吸收律)如果运算+和×满足吸收律, 则?和?也 满足吸收律。 证明：任取y1 ,y2∈Y 因 f :X?Y是满射,?x1 ,x2∈X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2)。 y1 ? ( y1? y2 )=f(x1)?(f(x1)?f(x2)) = f(x1) ? f(x1×x2) = f(x1+(x1×x2)) = f( x1) (因+和×满足吸收律) = y1 y1 ? ( y1 ? y2 )=f(x1)? (f(x1) ? f(x2)) = f(x1)? f(x1 + x2) = f(x1×(x1+x2)) = f( x1) (因+和×满足吸收律) = y1 五. 同态性质的保持 定理：代数系统X,?, Y, ?, X∽Y, f:X?Y是 同态映射, 如果X,?中?满足交换、结合、有 单位元、有零元、每个元素可逆, 则f(X),?中? 也满足上述性质。 另外，由于同态关系∽不满足对称性，所以同态 性质的保持只是单向的。即Y中?的性质，X中? 不一定有。 环与域 一. 环 (Ring) 1.定义:给定代数系统R, +,·, 若R上二元运算+和 · 满 足: ⑴R, +是交换群。（称为加法群） ⑵R, ·是半群。 （乘法半群） ⑶ · 对+可分配。即对任何a,b,c∈R,有 a·(b+c)=(a·b)+(a·c) (a+b)·c =(a·c)+(b·c) 称R,+,·是个环。 判断P(E),∪,∩, P(E),?,∪, P(E),?,∩是否 为环？ 2. 环的运算法则 设R,+,·是环, a,b,c∈R, 符号的约定： 对 +：单位元用0表示（称为零元），a的逆元 用 -a表示（称为负元）； 对 · ：单位元用1表示(若单位元存在)， a的逆元用 a-1表示(若a的逆元存在)。 a+(-b)=a-b ⑴ a+(-a)=(-a)+a=0 ⑵ 0+a=a+0=a ⑶ -(-a)=a ⑷ a+b=c ? a=c+(-b)=c-b ⑸ -(a+b)=-a-b -(a-b)=-a+b 证明：可以由群的性质得 -(a+b)= -b-a=-a-b ⑹ a·0=0·a=0 证明：0=a·0-a·0=a·(0+0)-a·0 =(a·0+a·0)-a·0=a·0+(a·0-a·0) =a·0+0=a·0 ⑺ (-a)·b=a·(-b)=-(a·b) 证明： a·b+(-a)·b =(-a+a)·b=0·b=0 所以(-a)·b=-(a·b) ⑻ (-a)·(-b)=a·b ⑼ a·(b-c)=(a·b)-(a·c)=a·b-a·c (a-b)·c=a·c-b·c 零因子 定义：设R,+,·是环, a,b∈R, 且a≠0,b≠0, 但有a·b=0,则称a是R的一个左零因子，b是R的 一个右零因子。若a即是左零因子，又是右零因 子，则称a为R的一个零因子。 例: M2(Z), +, ?是环，求环中的一个左零因子，一个右零因子，一个零因子． 定理1 R,+,·中无左（右）零因子，当且仅当对运算 · 满足可消去性。 证明：充分性 设环R,+,·中 · 满足可消去性。 任取a