数据结构课件7图2章节幻灯片.PPTVIP

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想 按路径长度递增次序产生最短路径算法： 把V分成两组： （1）S：已求出最短路径的顶点的集合 （2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合 将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中， 保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于 从V0到T中任何顶点的最短路径长度 （2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间 顶点的最短路径长度 依据：可以证明V0到T中最近顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的 直接路径的权值,或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和 （反证法可证） 求最短路径步骤 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值 若存在V0,Vi，为V0,Vi弧上的权值 若不存在V0,Vi，为? 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W，加入S 对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止 13 V0,V1 8 V0,V2 ? 30 V0,V4 ? 32 V0,V6 V2:8 V0,V2 13 V0,V1 ------- 13 V0,V2,V3 30 V0,V4 ? 32 V0,V6 V1:13 V0,V1 ------- ------- 13 V0,V2,V3 30 V0,V4 22 V0,V1,V5 20 V0,V1,V6 V3:13 V0,V2,V3 ------- ------- ------- 19 V0,V2,V3,V4 22 V0,V1,V5 20 V0,V1,V6 V4:19 V0,V2,V3,V4 终点 从V0到各终点的最短路径及其长度 V1 V2 V3 V4 V5 V6 Vj -------- -------- -------- -------- 21 V0,V2,V3,V4,V5 20 V0,V1,V6 V6:20 V0, V1,V6 5 1 6 4 3 2 0 8 5 6 2 30 13 7 17 32 9 算法实现(P189,算法7.15) 图用带权邻接矩阵存储 数组D[ ]存放当前找到的从源点V0到每个终点的最短路径长度，其初态为图中直接路径权值 数组P[ ][ ]表示从V0到各终点的最短路径，第一维表示某个终点，第二维表示V0到各终点的最短路径所经过的顶点（True为最短路径的顶点，否则为False） 数组final[ ]表示各顶点的最短路径是否已经求出，True为已求出，否则为False。 算法分析：T(n)=O(n2) 每一对顶点之间的最短路径 方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n3) 方法二：弗洛伊德(Floyd)算法 算法思想：逐个顶点试探法 求最短路径步骤 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧Vi,Vj，则对应元素为权值；否则为? 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值 所有顶点试探完毕，算法结束 例 A C B 2 6 4 3 11 0 4 11 6 0 2 3 ? 0 初始： 路径： AB AC BA BC CA 0 4 6 6 0 2 3 7 0 加入V2： 路径： AB ABC BA BC CA CAB 0 4 11 6 0 2 3 7 0 加入V1： 路径： AB AC BA BC CA CAB 0 4 6 5 0 2 3 7 0 加入V3： 路径： AB ABC BCA BC CA CAB 算法实现(P191,算法7.16) 图用带权邻接矩阵存储 数组D[ ][ ]存放当前找到的从各对终点的最短路径长度，其初态为图中直接路径权值 数组P[ ][ ][ ]表示各对终点的最短路径，第一、二维表示某一对顶点，第三维表示这对终点的最短路径所经过的顶点（True为最短路径的顶点，否则为False） 算法分析：