用Monte Carlo方法计算定积分.docVIP

用Monte Carlo方法计算定积分（随即投点法）理论思路 设，求在区间[0，1]上的积分值： 设（X,Y）服从正方形上的均匀分布，则可知X服从[0，1]上的均匀分布，Y也服从[0,1] 上的均匀分布,且X与Y独立，又记事件 则A的概率为 即定积分的值J就是事件A的概率p。由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中A出现的频率作为p的估计值。这种求定积分的方法也就是Monte Carlo 随即投点法，即将（X,Y）看成是正方形内的随机投点，用随即点落在区域 中的频率作为定积分的近似值。 先用计算机产生（0,1）上均匀分布的2n个随机数：。 对n对数据，记录满足如下不等式 的次数，这就是事件A发生的概率。由此可得事件A发生的频率,则。 用Monte Carlo方法计算定积分（平均值法）理论思路 为计算定积分： 设随即变量X服从（0,1）上的均匀分布，则的数学期望为 所以估计J的值就是估计f(X)的数学期望的值。有辛钦大数定律，可以用f(X)的观察值的平均去估计f(X)的数学期望的值。 具体做法如下： 先用计算机产生n个（0,1）上均匀分布的随机数：，然后对每个计算，最后的J的估计值为。 一、Monte Carlo在一重积分上的应用 考虑一个简单的一重定积分的应用： 不少统计问题，如计算概率、各阶矩等，最后都归结为定积分的近似计算问题，我们首先介绍两种求的简单的Monte Carlo 方法，并给出求积分的几个实例。 随机投点法： 考虑（1）的积分，简单起见，设a、b 有限，y=f（x）在[a,b]上连续非负，有其中。实际上，如果对于函数f（x），不是在区间[a,b]上都有，则进行计算时可以利用恒等式：=，其中h＞0 是适当选择的正数，使对一切，都有。 图 3 令，}，并设（X，Y）是在上均匀分布的二维随机变量，联合密度函数为则易见是中曲线下方的面积（如上图所示）。随机投点法的思想是：向中进行随机投点。若点落在下方称为中的，否则成为不中，则点中的概率为：，若进行了N 次投点，其中n 次中的，则得到的一个估计。 其实施步骤为： 1）独立产生2N 个U(0,1)的随机数 2）计算和； 3）统计个数n； 4)计算θ 估计值。 例[1]:用Monte Carlo方法求积分值 解：用公式(1), 其中,去N=20，利用Matlab编程相应程序如下： s=0; a=unifrnd(0,pi,1,20); x=sort(a) for i=1:19 y=x(i+1)-x(i) z=sin(x(i))/x(i) s=s+y*z; end s Matlab编程可得到结果： 1 0.7225 2 0.3345 3 0.2423 4 0.2805 5 0.9052 6 0.8992 7 0.7201 8 0.403 9 0.3961 10 0.9431 11 0.8474 12 0.4438 13 0.4385 14 0.6692 15 0.9327 16 0.2334 17 0.2148 18 0.9569 19 0.4379 20 0.5157 则满足条件的个数n=12,利用公式（1）得到，所求积分的估计值为 由数学分析的知识可知，例2中的被积函数原函数是不能用初等函数表示的, 因而不能用牛顿-莱布尼兹公式计算, 而用Monte Carlo方法便可求得其近似值，并且利用Matlab我们可以多次运行所编辑的求值程序，求得积分值的多个近似值，再取平均值以求得近似程度很高的结果。 二、Monte Carlo 算法在二重积分上的应用 对二重积分设为区域A 上的有界函数且据其几何意义,它是以为曲面顶，A为底的曲顶柱体C的体积。据此,用均 匀随机数计算二重积分的Monte Carlo方法基本思路为： 假设曲顶柱体C包含在己知体积为VD的几何体D的内部,在D内产生N个均匀随机点,统计出在C内部的随机点数目,则。 例[2]:计算 其中。 分析:该二重积分可看作以为顶的曲顶柱体的体积,此曲顶柱体在一个边长为2的立方体之内(见图) ,可计算出其精确值为π。现利用Monte Carlo法计算其近似值,相应程序如下： n=10000; x=