特殊函数常微分方程 本征值问题 缪国庆教授教学课件.pptVIP

第九章 特殊函数常微分方程 本征值问题 §9.1 特殊函数常微分方程 §9.2 常点邻域上的级数解法 §9.3 正则奇点邻域上的级数解法 §9.4 施图姆-刘维尔本征值问题 §10.1 轴对称球函数 第十一章 柱函数 §10.2 连带 Legendre函数 §10.3 一般的球函数 §11.1 三类柱函数 §11.2 贝塞尔方程 §11.3 虚宗量贝塞尔方程 §11.4 球贝塞尔方程 第九章 特殊函数常微分方程 本征值问题 §9.1 特殊函数常微分方程 本节内容： ◆ 导致特殊函数常微分方程的物理问题 波动问题，输运问题，稳定场问题 ◆ 特殊函数常微分方程的导出 ● 球坐标中 分离变量： 令 得 连带 Legendre 方程 Legendre 方程 §9.2 常点邻域上的级数解法 本节内容： ◆微分方程解析理论的基本定理 ◆常点邻域上的级数解法 ◆Legendre 方程在常点 x = 0 邻域上的级数解 二阶常微分方程的标准形式： 其中, p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变 函数。 要求在一定的条件，例如初始条件： 下，一定区域内方程的解。 方程解的性质完全由p(z)和q(z)的解析性质决定。 （一）方程的常点和奇点 设p(z)和q(z)在一定区域中，除若干个孤立奇点外， 是z的单值解析函数。区域中的点可分为两类： 常点：若系数 p(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内 解析，则 z0 点称为方程的常点。 奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不 解析，则 z0 点称为方程的奇点。 (二) 常点邻域上的级数解 微分方程解析理论的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圆 内是单值解析的, 则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件 C0和C1是任意常数, 并且w(z)在这圆内是单值解析的. 在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 是解析 函数，故可展开成Taylor 级数： 因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。 （三）Legendre 方程的级数解: 在 x=0 的邻域上求 Legendre 方程的解： 因 当 x=0, 有限，因此是方程的常点。 在 x=0邻域内，Taylor 级数形式的解为： 代入 Legendre 方程： 合并后： 因此系数的递推关系为 (9.2.5) 根据(9.2.5), 可将所有下标为偶数的系数用a0表示，而将所 有下标为奇数的系数用a1表示，这样，Legendre 方程的通 解可表示为： 级数的收敛半径： 因为x=±1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。 事实上: §9.3 正则奇点邻域上的级数解法 本节内容： ◆微分方程在其正则奇点邻域上解的基本定理 ◆正则奇点邻域上的级数解法 ◆Bessel方程在正则奇点x=0邻域上的级数解 （一）奇点邻域上的级数解: 系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇点. 因此，在 z0 点邻域的级数解应该是 Laurent 展开。 一般情况下, 级数的系数是无限联立的代数方程，得不到系数的递推公式；但在一定的条件下，方程的二个线性独立解的级数中没有负幂项，这样的解称为正则解。在这种情况下,可得到系数递推公式。 这时方程的二个线性独立解为： 将 代入方程, 得最低次幂项之和为 若m1, 或n2, 则第二项或第三项为最低次幂项 令其系数为零, 只能有 若 则最低次幂项为第一项，或加上第二、第三项。令其系数为零。（当m=1, n=2）