专题2.5 以子数列或生成数列为背景的解答题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列（江苏专版）（原卷版）.docVIP

专题二 压轴解答题 第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题 【名师综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查.明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法. 类型一 排序数列分类讨论问题 典例1 已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63． （1）求数列和的通项公式； （2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围； （3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和． 【举一反三】已知数列满足， ，其中， ， 为非零常数. （1）若， ，求证： 为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列是公差不等于零的等差数列. ①求实数， 的值； ②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由. 类型二 不定子数列性质探究问题 典例2 设数列满足，其中，且， 为常数. （1）若是等差数列，且公差，求的值； （2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值； （3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值. 【举一反三】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立：数列的前项和，且对任意正整数， 恒成立. （1）求常数的值； （2）证明数列为等差数列； （3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由. 类型三 新数列中定义理解与应用问题 典例3 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，. （1）求数列的通项公式；[来源:Zxxk.Com] （2）对任意正整数，若，求证：； （3）设,求证：. 【举一反三】设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合. （1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素； （2）证明：若数列A中存在使得，则 ； （3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -. 【精选名校模拟】 1.已知数列{an}为等比数列， 公比为 为数列{an}的前n项和. （1）若求; （2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值； （3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由． 2. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 3. 已知数列满足.数列 前项和为. (Ⅰ) 求数列的通项公式；[来源:学+科+网Z+X+X+K] （Ⅱ）若，求正整数的值；[来源:学,科,网] （Ⅲ）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.www.2 4. 已知数列各项均为正数， ， ，且对任意恒成立，记的前项和为. （1）若，求的值； （2）证明：对任意正实数， 成等比数列； （3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由. 5. 已知数列中任意连续三项的和为零，且 (Ⅰ) 求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和的取值范围.www.2 6. 设首项为1的正项数列的前n项和为，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）数列是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由； （3）设试问是否存在正整数使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由． 7. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求； （2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，. ①当取最小值时，求的通项公式； ②若关于的不等式有解，试求的值. 8. 已知数列的前项和为，且． （1）若，求数列的前项和； （2）设，先计算的值，再借用这个结论求出的表达式（用表示）并在（1）的前提下，比较与的大小关系； （3）若，求的值． 9. 已知数列中，，， （1）当时，试证明：成等差数列； （2）若成等比数列，试求实数之值； （3）