专题13 直角三角形问题-攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品（原卷版）.doc

专题13 直角三角形问题 【考点综述评价】 垂直是常见的两直线的位置关系，常常以直角三角形为载体来编制综合题，作为压轴题出现． 一是以直角三角形为背景，结合动点、动线和动面，来探究函数图象问题，探究最值问题，探究开放性问题；二是探究直角三角形，如两线垂直关系、等腰直角三角形等的存在性问题． 解题时需要画出各种状态图形， 观察分析图形，把复杂的图形分解成两直线垂直的基本图形，利用勾股定理、三角函数等知识，把各相关线段代数化，转化为函数问题、方程问题来解决，分析问题时还需注意对图形的分类，一般以直角顶点来分类． 【考点分类总结】 考点1：直角三角形之分类讨论问题 【典型例题】（2017上海市）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD； （2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离； （3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长． 【方法归纳】 按直角顶点分类画出图形，利用直角三角形的勾股定理、三角形相似解决． 【变式训练】 （2017内蒙古通辽市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在抛物线的对称轴上，求△ACD的周长的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 考点2：直角三角形为背景的探究问题 【典型例题】（2017内蒙古赤峰市）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点． （1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系； （2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明． （3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数． 【方法归纳】 解答此类问题要充分利用直角三角形的性质（勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、特殊角的三角函数等）来证明全等或相似。 【变式训练】 （2017河南省）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想 图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值． 考点3：直角三角形存在性问题探究 【典型例题】（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【方法归纳】 在动态背景下的直角三角形存在性问题，解题关键是以直角顶点分类，画出各种状态图，转化为方程解决，列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等。 【变式训练】 （2017山东省潍坊市）如图1，抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 考点4：等腰直角三角形中探究问题 【典型例题】 （2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N