【精品】高等数学1-数列的极限知识研讨.pptVIP

例如，设数列的一般项 则它偶数项组成的子数列的第k项为 则它奇数项组成的子数列的第k项为 注意 子数列 中的一般项 是第 k 项，而在原数列 中却是第 项. 显然，nk ≥k ，且k→∞时， nk 也趋于∞. *定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛，则它的任一子数列也收敛，且收敛于同一值. 证 设数列 是数列 的一个子数列. 由于 ，故 取K=N，则当 kK时， . 于是 这就证明了 *定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛，则它的任一子数列也收敛，且收敛于同一值. 证 设数列 是数列 的一个子数列， 由数列极限可知， ，在邻域 外只有有限多项xn，从而也只有有限多项 ，再利用数列极限定义的推论知 * * 第二节 数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽（公元3世纪，魏晋） 典型问题 圆面积问题 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 如图所示,由正弦定理可知 当n无限增大时, 无限逼近S. 如何用数学语言来描述这一逼近过程呢？ 回答：需要引入数列极限的概念，用它来刻画这个过程. 定义 一个以正整数为定义域的函数 y=f(n) 称为整标函数. 当自变量n按正整数增大顺序依次取值时，所得一串有序的函数值： 称为数列. 记为： f (n) （n =1，2，…,) 一、数列极限的定义 若记： ，则数列记为： 或 xn （n=1，2，…，），或 { xn }，或 数列中的每一项称为数列的项，其中第n项xn叫做数列的通项或一般项. 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ?. 数列的几何意义： x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列的性质 (1) 单调性 单调增数列 单调减数列 2, 4, 8, ? ? ? , 2n , ? ? ? 单调增与单调减数列统称为单调数列，单调数列在数轴上的点随n的增大朝着一个方向移动. 非单调增与非单调减数列称为摆动数列. 1, -1, 1, ? ? ? , (-1)n+1, ? ? ? . 例如数列 例如数列 数列 1，8，27，…，n3，… 无界，因为无论正数M取多大，当 时，必有： 无界 数列有上界有下界 若存在实数M，有： 称数列{ xn}有上界, 否则称为无上界. 若存在实数m，有： 称数列{ xn}有下界，否则称为无下界. 例如数列 1，2，3，…，n，… 有下界但无上界. 数列有界的充分必要条件是既有上界又有下界. 由于数列每一项与数轴上的点一一对应，故当数列有界时，因为： 所以，数列对应的点都落在有限区间[-M，M]内. [ ] 0 -M M 讨论的问题：当n无限增大时（即n→∞时），对应的 xn=f (n) 是否能无限接近于某个确定的数值？如果能，这个数值等于多少？ 数列的极限 （1） 当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于某一确定的数值. “无限接近” 如何用数学语言来刻划； （2） 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述? 问题: 以 为例. （1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度： 用 表示数列与常数值的距离，另用正数 ε表示两者接近的程度. 随着n的增加， 会越来越小. 引入 (不论多么小的正数)来刻划接近程度，即 （2） 引入符号N和?来刻化无限增大和无限接近： 只要n无限增大，xn 就会与1无限接近. 确保 定义 设{xn}为一数列，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 （不论它多么小）总存在正整数 N ，使得当 nN时，不等式 都成立，那么称常数 a 是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于 a ，记为 或 如果数列没有极限，就说数列是发散的. 也说极限不存在. (其中 任意， 存在.) 定义 几何解释: 说明：N 与任意给定的