(二） 第二节 数列的极限(同济少学时第三版简约型)知识讲解教学教材.pptVIP

中国药科大学 数学教研室 杨访; 数列极限是极限概念产生的最初源头，它起源于用 圆的内接正多边形求圆面积的方法。 古希腊人用穷竭法求圆面积，即不断地作圆的内接 正多边形，随着多边形边数 逐次成倍增加，圆面积将被 内接正多边形的面积所穷竭。 中国古代数学家刘徽 (公元 3 世纪)不仅建立了 割圆术，还建立了计算相 应数列极限的方法。 ;刘徽割圆法 ; 作辅助线 AC，则由勾股定理有 于是得递推关系式; 设圆的内接正六边形面积为 A1，内接正十二边形的 面积为 A 2，内接正二十四边形面积为 A 3 ,… …，由上 述递推关系可求得一系列圆内接正多边形面积值： A1 , A 2, A 3 ,… , A n ,… ， 刘徽一直求到了圆的内接正 a 3072 边形的面积。利 用这列有序数，刘徽计算出了较前人精确得多的圆面积 的值，并求得了圆周率为 ? = 3.1416 ,… .;(1) 数列的一般定义 ;数列作为整标函数的例 ; 对于一般的数列{ x n }，总会出现两种情形： 当 n ? ? 时，x n ? a ， 当 n ? ? 时，x n 不趋于任何确定的数。 例如：; 数列收敛的描述性定义 ;例：试由定义判别下列数列的敛散性 由定义判别数列的敛散性一般是通过观察法考察给 定数列的通项是否趋向于一个确定常数。 因为当 n ? ? 时， ，故该数列收敛，且极 限为 0 . ; 逐项写出该数列各项有 1 ,-1 ,… ,(-1)n-1 ,…， 易见当 n ? ? 时，x n 始终在 1 和 -1 之间交替取值, 它不可能趋于一个确定数，故该数列发散。 逐项写出该数列各项有 可见当 n ? ? 时，x n 趋于 0 ，故该数列收敛，其 极限为 0 . ;(3) 数列及数列收敛性的几何意义 ;(1) 精确表达数列极限的必要性 ; 什么叫做 x n无限接近于一个常数 a ？ x n 无限接近于一个常数 a 或 x n 趋向于 a 都是定性的 描述，而非定量的和客观的表达，因为它依赖于考察者 的主观判断。 什么叫做 n无限增大？ n ? 10000，n ? 10 100 可否称作 n 无限增大？如果不 能，n 变化到什么样的值才能称为 n 无限增大？; x n → a 的意义的定量表达 ; 第二步，如何表示| x n - a | 可任意地小？ x n 与 a 的接近程度可用不等式 | x n - a | l 来表。 l 很小可表示 x n 与 a 很接近，然而，任何确定的很小的 数 l 均不能表示| x n - a | 可任意地小。 由于可任意小的具体数是不存在的，因此只有人为 地建立这样一种“数”的概念，数学家柯西设想出了这 样一种数，并用 ? 表示。 ? 表示可任意赋值的数，而一 旦赋于 ? 为某具体值，它就是通常 的实数。于是? x n - a ?可任意地小 可表示为：对预先给定的可任意 小的正数 ? 有 ? x n - a ? ? .; x n → a 过程的定量表达 ; 另一方面，表示 n 增大程度的具体值 N 又和预先给 定的 ? 的大小有关。一般而言，若 ? 取值较大，x n 的下 标不需要变化到很大就可有 | x n - a | ? 成立，相应 N 就较小。而若 ? 取值较小，则 x n 的下标需要变化到足 够大，才可有 | x n - a | ? 成立，于是 N 就较大。 综合考察，N 对 ? 有某种依赖关系， 即 N = N(? ). 为说明 x n → a 这一事实， N 对 ? 的依赖关系 N = N( ? )的具体形式 并不重要，重要的是 | x n - a | ? 总能发 生或成立，即对 x n 的下标 n 变化而言， 重要的是这样的 N = N( ? )的存在性。;(2) 数列极限的精确定义 ;(3) 用“? – N ”定义证明数列极限为某定值 ; 对 ? ? 0 ，要找这样的 N 0 ，使得当 n N 时有 由于直接从上式确定 N 存在困难，考虑先对不等式 作适当变形和化简。因为 故要使 ; 为此取 N = 1/? ，于是当 n N 时有