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此轴不满足刚度条件。 （3）计算两端面的相对扭转角 d1 d2 A B C MA MB MC l1 l2 0.6kN·m 0.8kN·m ⊕ ○ 例题9-5-2 图示材料相同的实心轴与空心轴通过牙嵌离合器联结，传递外力偶矩Me=700N·m。设空心轴的内外径之比α=0.5 ， [τ]=20MPa 。试设计实心轴的直径d1和空心轴外直径D2，并比较两轴的横截面面积。 实心轴 空心轴 解： 取 实心轴与空心轴的横截面面积之比： 取 第九章作业 9-1、9-2、9-4、9-5、9-6、9-8、9-9 9-11、9-12 第九章 扭 转 §9–1 扭转的概念 传动轴 以扭转变形为主的杆 —— 轴 受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。 变形特点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。 材料力学以研究圆轴为主。 O 扭转角 m m O ? 外力偶矩可通过传递功率和转速来换算。 若传递的功率为N (kW)，转速为n（r/min），则每分钟 功率作功： 力偶作功： §9–2 外力偶矩 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩的计算 若功率的单位为马力时，则公式为 其中：N —— 功率，千瓦（kW） n —— 转速，转/分（r/min） 二、扭矩 扭矩图 Mn Me Me x Me 1 1 Mn Mn?? 扭矩 1 1 1 1 Me 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 扭矩图 扭矩沿杆轴线的变化情况图 例9-2-1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 5kN.m 2kN.m 解： 1 1 2 2 3kN.m Mn1 A B C AC段： BC段： 2kN.m Mn2 扭矩图 3kN.m 2kN.m ⊕ ○ - 例9-2-2 传动轴如图所示，主动轮A输入功率NA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15kW，ND=20kW，轴的转速n=300r/min。试绘制扭矩图。 MA MB MC B C A D MD 解： （1）计算外力偶矩 2 2 1 1 3 3 MA MB MC MD Mn1 1 1 x MB Mn2 MB MC 2 2 x Mn3 3 3 MD x （2）计算各段的扭矩 MA MB MC MD 477 954 637 Mn图(kN·m) （3）作扭矩图 §9–3 薄壁圆筒的扭转 一、 应力与应变 轴线和周向线 长度不变 横截面和纵向 截面上无正应 力。 横截面上只有 剪应力。 试验观察 剪应力 剪应变 二、纯剪切状态 ? ? ? 两相对的面 上，剪应力 大小相等， 方向相反。 剪应力互等定理 三、剪切虎克定律 当剪应力不超过剪切比例极限时: G —— 剪切弹性模量 剪切虎克定律 钢材的G约为80GPa。 对各向同性材料，有 剪切变形比能 u 四、剪切变形能 U表示剪切变形能 §9-4 圆轴扭转时的应力和变形 一、应力 变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系 静力关系 1. 变形几何关系 观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没 有变化; (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度。 刚性平面假设： 圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在原地绕轴线发生“刚性”转动。 dx a? a Me Me n m m n dx R o e? e ? e? e o ? dx (a) (b) 2. 物理关系 （b）式代入得 (c) 3. 静力关系 记 则 (d) (e) —— 极惯性矩 由(c)、 (e) ，有 在给定的横截面上，最外缘剪应力最大 —— 抗扭截面模量 记 d? 实心圆轴 D o ? Ip 、 Wn 的计算 空心圆轴 D o ? d d? 其中: 二、变形 扭转角 ?? 两个横截面绕轴线的相对转角。 由(e)式 当Mn、GIP 为常量时 GIp ?? 抗扭刚度 当Mn、GIP 分段变化时 §9-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算 强度条件 刚度条件 单位长度扭转角 ( rad/m ) ( rad/m ) ( o/m ) 若[?] 的单位为 o/m，则 d1 d2 例9-5-1 图示圆轴，已知MA =1.4kN·m，MB =0.6kN·m，MC =0.8kN·m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；[?]=60MPa，[?]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。 A B C MA MB MC l1 l2 0.6kN·m 0.8kN·m ⊕ ○ 解： （1