第十讲_线性代数中的数值计算问题幻灯片.pptVIP

【例7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; B=inv(A) B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000 A*B ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 B*A ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 2. 矩阵求逆解法 利用求系数矩阵A的逆阵A-1，我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程组Ax=b，等号两侧各左乘A-1，有： A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得： x=A-1b 【例8】试用矩阵求逆解法求解下例矩阵A为系数矩阵的线性代数方程组Ax=b的解。 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; b=[2;-3;1]; x=inv(A)*b x = -3.8000 1.4000 7.2000 3. 直接解法 对于线性代数方程组Ax=b，我们可以运用左除运算符“\”象解一元一次方程那样简单地求解： x=A\b 当系数矩阵A为N×N的方阵时，MATLAB会自行用高斯消去法求解线性代数方程组。若右端项b为N×1的列向量，则x=A\b可获得方程组的数值解x（N*1的列向量）；若右端项b为N×M的矩阵，则x=A\b可同时获得同一系数矩阵A、M个方程组数值解x（为N×M的矩阵），即x(:,j)=A\b(:,j)，j=1,2,…M。 解法1：分别解方程组 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; b1=[2;-3;1]; b2=[3;4;-5]; x=A\b1 x = -3.8000 1.4000 7.2000 y=A\b2 -3.6000 -2.2000 4.4000 得两个线性代数方程组的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 解法2：将两个方程组连在一起求解：Az=b b=[2 3;-3 4;1 -5] z=A\b z = -3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000 很明显，这里的解z的两个列向量便是前面分别求得的两组解x和y 上机作业 1、解方程组Ax＝b，分别用求逆解法与直接解法求其解。 2 向量C=[4 5 6] ,生成以向量C作为主对角线的对角阵A； 以及以向量C作为主对角线上方第二条对角线元素的矩 阵B。 第十讲 matlab 求解线性代数 【引 例 】求下列三阶线性代数方程组的近似解 MATLAB程序为： A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4]； b=[5;6;5]； x=A\b 在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b： A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4] A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4 b=[5;6;5] b = 5 6 5 然后只需输入命令x=A\b即可求得解x： x=A\b x = 2.7674 1.1860 1.3488 一、 特殊矩阵的实现 1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下： zeros(m)：产生m阶零矩阵； zeros(m,n)：产生mxn阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)； zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。 一、 特殊矩阵的实现 常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde) 矩阵等。 2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。 【例1】