第3章节刚体力学幻灯片.ppt

* 两边同乘 dt 再积分可得: 上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于物体角动量的增量。这一结论称为定轴转动的角动量定理。 由定轴转动定理: 上式左边是力矩的时间累积量----冲量矩。 2. 定轴转动的角动量定理 注意：角动量定理不仅适用于刚性物体的定轴转动，对非刚性物体的定轴转动也成立。 * 若物体所受的合外力矩为零(即M＝0)时，则 　　　　 I? = 常量　　 这表明：当合外力矩为零时, 物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律。 说明 (1)对于刚体，其转动惯量I为常量，若刚体所受合外力矩为零，由角动量守恒定律可知? =常量。 (2)对于非刚体物体，I可以变化，此时转动定理 M=I? 已不适用，但角动量定理和角动量守恒定律仍适用。若物体所受合外力矩为零，由角动量守恒定律可知： 3. 定轴转动的角动量守恒定律 * 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？ * 直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ (3)角动量守恒定律还推广应用到由几个刚体或由刚体和质点组成组成的系统，如果系统受到的外力对某一固定轴的合力矩为零, 则系统对该轴的角动量守恒, 即： 各刚体、质点的角动量是对同一转轴而言。 注意！ * 解 (1)碰撞过程系统角动量守恒: 例12： 粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆,可绕通过o点的竖直光滑轴自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为μ, 起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的小球，以相同的速率?相向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞。求: (1)两小球与杆碰后瞬间，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦力矩） m ? ? m . o 其中 解得 * (2)杆经多少时间停止转动？ dm dx fr . x o 根据角动量定理: 摩擦力矩为 将 代入上式 m ? ? m . o * 解 (1)系统(圆盘+人)什么量守恒？ 系统角动量守恒： 例13： 匀质圆盘(m、R)与一人( , 视为质点)一起以角速度?0绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动, 如图所示。如果此人相对于盘以速率?、沿半径为 的圆周运动(方向与盘转动方向相反), 求: (1)圆盘对地的角速度; (2)欲使圆盘对地静止，人相对圆盘的速度大小和方向？ ?o ? ? * ?人对地= ?人对盘 +? 盘对地 ?人对地= ?o ? ? +? 解出： (2) 欲使盘静止，可令 得 式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(?o)方向一致。 * 例14：已知两平行圆柱在水平面内转动，如图所示 求：接触且无相对滑动时 .o1 m1 R1 .o2 R2 m2 o1. o2. 解一： 接触点无相对滑动： * 因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则系统角动量守恒，以顺时针方向为正： 联立1、2式解出?1和?2。 o1. o2. 以上解法对不对？错在那里？ o2 F2 o1. F1 f1 f2 将两圆柱体看成是一系统，系统角动量是否守恒? 又： ， 问题：(1) 计算合外力矩应对同一轴。 * (2) 角动量守恒定律中各角量应对同一轴。 o2 F2 o1. F1 f1 f2 系统角动量不守恒！ 分别对m1 , m2 用角动量定理列方程 设：f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正。 解二： (3)对同一轴系统角动量是否守恒？ * m1对o1 轴： m2对o2 轴： 接触点： o2 F2 o1. F1 f1 f2 * 联立各式解得： 讨论 (1)若： 则： o1. o2. m1顺时针旋转，m2逆时针旋转。 (2)若： 则： m1逆时针旋转，m2顺时针旋转。 * §3-3 定轴转动中的功和能 研究内容：力矩的空间累积效应 刚体的转动动能为： 设刚体绕定轴z以角速度?转动，在刚体上任取一质元?mi , ?mi 到转轴的距离为ri , ?mi 的线速度?i=ri? , 相应的动能： 一. 转动动能 刚体的转动动能 =刚体上各质点动能之和 Z ?mi ?i ri o * 质点的(平动)动能 对比！ 刚体的转动动能 二. 力矩的功 即:力的元功等于力矩M和角位移d?的乘积，也称为力矩的元功。 Z F ds d? o P ? r 设刚体在力F作用下，绕定轴z转动，在dt时间内，力的作用点P位移为 ，大小为ds=rd? 则力 的元功是： 力矩的空间累积 * 当刚体由角?1转到?2时, 力矩所作的功为： 若合力矩M是一恒量，则力矩的功为： 力矩的功率是： Z F ds d? o p ? r * 三. 刚体定轴转动的动能定理 根据刚体定轴转动定理： 在上