第3有限元分析的数学求解原理幻灯片.pptVIP

3.3 应用实例 A1, l1 A2, l2 R3 1. 离散化 ① ② 1 2 3 2. 位移函数 A, l i j F i ui F j uj x x 2. 位移函数 A, l i j F i ui F j uj （单元内位移线性分布） 形函数矩阵 3.3 应用实例 * 3. 单元刚度矩阵方程 A 虚功原理 外力虚功 虚应变能 应变 应力 应变矩阵 弹性矩阵 3.3 应用实例 单元刚度矩阵 单元的刚度方程 单元刚度矩阵 Element① Element② 3.3 应用实例 * B 最小势能定理 外力虚功 虚应变能 由势能变分原理（势能最小原理）得 势能变分，整理得平衡方程 3.3 应用实例 4 整体分析 整体分析就是建立整个离散结构所有节点位移与外力之间的关系，实现未知节点位移的求解 整体平衡方程 整体刚度方程可基于势能变分原理建立，也可根据节点的静力平衡来实现（即每个节点静力平衡）。 节点i的平衡为 三个节点三个自由度，即 3.3 应用实例 （A）扩充单元刚度方程法 位移协调性 载荷的叠加性 A1, l1 A2, l2 R3 ① ② 1 2 3 3.3 应用实例 整体刚度方程 3.3 应用实例 A1, l1 A2, l2 P ① ② 1 2 3 （B）“对号入座”法 （方便编程） i j 1 2 2 3 Total 1 2 3 1 2 3 3.3 应用实例 5. 引入边界条件求解 A1, l1 A2, l2 R3 ① ② 1 2 3 边界条件 支反力 3.3 应用实例 结构离散 单元分析 整体分析 3.4 基本步骤为三大步骤 1、结构离散:就是用假想的线或面将连续物体分割成有限个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。（基本要求） 注意的问题 单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 节点：单元与单元间的连接点 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力 节点载荷：作用于节点上的外载 3.4 基本步骤为三大步骤 2单元分析:1），选择插值（位移）函数；2），构造位移函数。 插值函数：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则 位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）； 所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解 3.4 基本步骤为三大步骤 构造位移函数：如平面问题位移函数的一般形式为 1.多项式项数越多，则逼近真实位移的精度越高，项数的多少由单元的自由度数决定。 2多项式选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元精度。 3.选取多项式时，还应使所选取的多项式具有坐标的对称性，即按Pascal（帕斯卡）三角形来选择 3.4 基本步骤为三大步骤 位移函数构造方法： 1.广义坐标法： 2.插值函数法：即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和 3.4 基本步骤为三大步骤 3.单元特性分析：单元特性分析的基本任务就是建立单元的平衡方程，也称为刚度方程。在选择了单元类型和相应的位移函数后，即可按弹性力学的几何方程、物理方程导出单元应变与应力的表达式，最后利用虚位移原理或最小势能原理或直接法或加权残值法建立单元的平衡方程，即单元节点力与节点位移间的关系。 3.4 基本步骤为三大步骤 3.4 基本步骤为三大步骤 整体分析 整体分析的基本任务包括建立整体平衡方程，引入边界条件，完成整体方程求解。 整体平衡方程的建立有多种方法，可基于能量原理（势能变分或虚位移原理）推导，也可基于节点力平衡得到。 在引入边界条件之前，整体平衡方程是奇异的，这意味着整体方程是不可解的。 方程求解包括边界条件引入和数值计算，一旦利用适当的数值方法求出未知的节点位移，则可按前述的应力应变公式计算出各个单元的应变、应力等物理量。 3.4 基本步骤为三大步骤 刚度由使其产生单位变形所需的外力值来量度，刚度是指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。 单元的刚度矩阵：单元刚度矩阵反应的是单元节点力与单元节点位移的关系； 总刚度矩阵反应的是整体的节点力与节点位移的关系；刚度矩阵将总体坐标下的节点位移与整个结构的总体力联系在一起。 补充实例（刚度矩阵的理解） 单元刚度矩阵行数等于位移向量的分量个数，列数等于为位移的列向量的分量个数，由于两者相等所以单刚是个方阵。 结构的总体刚度矩阵即结构的原始刚度矩阵，每1个元素的物理意义就是当其所在列对应的节点位移分量等于单位位移（其余结点位移分量为0）时，其所在行对应的节点力的数值