第2讲有限元与弹性力学的基本原理幻灯片.pptVIP

物理方程（应力-应变关系） 弹性力学由应力-应变之间的转换关系也称弹性关系。对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示： D称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量E 和泊桑比 表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lame)常数G , G为弹性模量。 物理方程中的弹性矩阵D亦可表示为 物理方程的另一种形式是 其中C是柔度矩阵。C=D-1，它和弹性矩阵是互逆关系. 弹性体在边界上单位面积的内力表示为 , 在边界 上已知弹性体单位上作用的面积力为 力的边界条件 根据平衡应有 设边界外法线为N，其方向余弦为nx，ny，nz,则边界上弹性体的内力可由下式确定 T=n 以上公式的矩阵形式为 (在 内) 在 上弹性体的位移已知为 即有: 用矩阵形式表示是 弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力 称为力的边界条件，这部分边界用 表示;另一部分边界上弹性体的位移 已知，称为几何边界条件与位移边界条件，这部分边界用 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即 : 几何边界条件 弹性体的应变能和余能 单位体积的应变能(应变能密度) 应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时(ε恒为0)，应变能才为零。 单位体积的余能(余能密度) 余能也是个正定函数，弹性力学中弹性体的应变能等于余能。 ε=LU (几何方程) 基本方程间的关系 F+Aσ=0或σ=ATF (平衡方程) σ=Dε (物理方程) F U --------- --------- D(弹性矩阵) L A 力学边界条件 位移边界条件 ----- ----- 有限元分析的基本原理 有限元与弹性力学的基本原理 之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 弹性力学的基本假设 理想弹性体 物体是连续的 物体是完全弹性的 物体是均匀的 物体是各向同性的 位移和形变是很小的 弹性力学的分类 平面问题的基本理论 直角坐标解答 极坐标解答 温度应力 空间问题的基本理论 理论弹性力学 薄板理论 薄壳理论 应用弹性力学 弹性体力学的基本概念简介 　　　弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形变有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。 　　　弹性体的拉伸和压缩形变 一、正压力（拉伸压缩应力） （1） 例如图示， 其中， 沿作用力截面的法线方向。 二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式： （2） （3） 其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ,横向形变后为 。 横向形变和纵向形变之比为泊松系数： （4） 　　当 　　时，为拉伸形变；　 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横 向形变，则对应的应变(或形变)为： 三、胡克定律 当应变较小时，应力与应变成正比： （5） 或 （6） 其中：Y 或E称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力，A截面积 。 四、拉伸或压缩的形变势能——属于形变物体本身所有 （7） V-弹性体体积.同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能： （8） 回顾知识:弹性变形能 对于一维结构(拉压杆),在线弹性范围下,受力-变形关系所包含的面积,数值上等于外力所做的功 在一小段dx上的变形能为： 对于空间三维体 一、剪切形变 　　当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。 （1） 其中：S为假想截面ABCD的面积， 力F在该面上均匀分布。 三、剪切形变 特征：表现为平行截面间的相对滑移。 切应角 若 很小，则 （2） 二、剪应力 弹性体的剪切形变 四、剪切形变的胡克定律 若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比： 其中，N 为剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。 （3） 通过理论推导，对于各向同性的